Mesh Parameterization (Mesh Flattening)
什么是曲面参数化
对于一个二维流形的三维曲面，把它拍成二维的过程称为参数化。
- 每个3D顶点(\(x,y,z\))对应一个2D点(\(u,v\))
• (\(u,v\)) 称为 (\(x,y,z\)) 的参数（2D流形曲面的本征维数）
曲面参数化要解决的问题
非可展曲面展开后必须形变，因此希望展开后的平面形变尽量地少，具体衡量为：
- 三角形不能发生翻转。
- 三角形的扭曲能够保持。
- 边界不要自交。
这节课为曲面参数化的基础课，不涉及这些内容，将在后面展开。
参数化的应用
- 提供了三维曲面每个点的一个二维参数，可用于贴纹理
- 在低维来处理高维问题，减少复杂度
- 三维曲面之间的相关问题可通过参数化空间来处理
曲面参数化的方法：Tutte’s Method
第一步：将边界映射到平面的凸多边形上
[Floater 97’]
M. Floater. Parametrization and smooth approximation of surface triangulations. CAGD, 1997.
http://www.cs.jhu.edu/~misha/Fall09/Floater97.pdf
第二步：求解稀疏方程组
Forming a sparse linear system
还是之前 Global Laplacian Smoothing 求极小曲面的原理。
边界点在同一平面上，得到的极小曲面也是在平面上的。
但是要把边界点放右边呢？因为右边是固定点，要求的是内部点。
性质
- 优点：
简单
如果边界位于凸多边形上，则三角形一定不会发生翻转！ - 缺点：
扭曲大
在密的地方容易发生数值上的精度问题 - 其它 第二步中使用不同的权值定义方向得到的结果不同，使用cot权的扭曲最小
使用这种格子作为纹理，方便观察扭曲情况，仍建议用 cotangent 权，扭曲较小。
图1：均匀权， 图3：cotangent权
操作步骤总结
• 检测边界
• 将边界映射到正方形边界或圆边界（凸边界）
• 构建稀疏方程组
• 求解稀疏方程组
• 更新顶点坐标
• 连接纹理图像，更新显示
分块参数化
复杂模型割成多块分别参数化，再 packing
优点：1.减少扭曲。 2.具有语义。
缺点：1.空间浪费。
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