Shrinkage问题

Global Laplacian smoothing results in shrinkages

解决方法：add constraints，例如顶点约束、面约束…

Soft Lapacian Smoothness

不带约束的 Laplacian 会导致maesh收缩，因此要固定几个点作为约束。
hard 约束（Interpolation）：必须满足的约束，例如 $S.T.g(t)=0$
Soft 约束（Approximation）: 尽量满足的约束，例如 $\min f(x)$

硬约束会导致约束点变成一尖点，因此引入软约束

从优化的方法讲，Soft可以用GD迭代。比hard的KKT要简单

Add position constraint for one vertex

hard 约束的问题是,fix点处会很突兀,因此通常使用软约束。
每 fix 一个点，在矩阵下面增加三行。
加入约束之后. L 的行数远多于列数。只能求近似解。
$\min \left || Ax- b \right ||^2$,相当于软约束优化问题。

$$ \min _{{X}'} {||L{X}' ||^2+\mu ^2\sum _{i\in C}|{v }'_i -v_i|^2} $$

第一项： Laplace 尽量小，第二项：固定点尽量不动

除了固定顶点位置的约束，还可以对面加约束，例如：固定面片重心的位置。关键是要线性约束。

• Edge constraints

• 1‐ring barycenter constraints

• Other linear constraints

‘8’-like mesh model
3070 vertices, 6144 triangles

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