函数/曲线拟合

• 从代数观点来看：从一组基函数所张成的函数空间中，找一个“好”的函数来拟合给定的采样点。
  比如幂基{$1,x,x^2,\cdots ,x^n$}
  $(n=2)$二次多项式：$𝑓(t)=at^2+bt+c$

• 参数曲线形式：$f(t)=\binom{x(t)}{y(t)}$

建模的两种形式

$$𝑓(t)=at^2+bt+c$$

1. 重建（Reconstruction/Fitting）
   • 逆向工程：形状已有，要将其“猜”出来
   • 采样$\to$拟合：需要函数空间足够丰富（表达能力够）
   • 代数观点：{$a,b,c$}作为基函数的组合权系数
   • 输入：采样点{$S_j,j=0\sim m$} 及基函数{$b_i(t),i=0\sim n$}
   • 输出：拟合函数的系数{$p_i,i=0\sim n$}

2. 设计（Design）
   • 自由设计：凭空产生，或从一个简单的形状编辑得到
   • 交互式编辑：几何直观性要好，具有好性质的基函数使得交互设计更直观
   • 几何观点：基函数{$t^2,t,1$}作为控制点的组合权系数
   • 输入：交互输入（或者反求）控制顶点{$p_i,i=0\sim n$}
   • 输出：曲线$f(t)$

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