曲线拟合问题

问题描述

[42:43]

输入：给定平面上系列点$(x_i,y_i),i=1,2,...,n$

输出：一条参数曲线，拟合这些点

👆 [42：50]非函数型曲线

解决方法

$$f:R^1 → R^2$$

$$\begin{cases} x=x(t)\\ y=y(t) \end{cases}$$

$$t\in [0,1]$$

存在的问题

❓ $x=x(t)$，用$x(t)$拟合数据点$x_i$，但$x_i$与$t$没有关系，如何拟合？
答：需要人为构造这个关系。即构造$(t_i,x_i)$，这个过程称为参数化，$t_i$是参数。

即，$x(t)$拟合点$(t_i,x_i)$，$y(t)$拟合点$(t_i,y_i)$

基于曲线参数化的曲线拟合问题

$$\begin{cases} x=x(t)\\ y=y(t) \end{cases}$$

$$t\in [0,1]$$

矢量符号化表达： $$p=p(t)=\binom{x(t)}{y(t)}$$

然后极小化误差度量：

$$E= {\textstyle \sum_{i=1}^{n}} ||\binom{x(t_i)}{ y(t_i)}-\binom{x_i}{y_i} ||^2= {\textstyle \sum_{i=1}^{n}}||p(t_i)-p_i||^2$$

曲线参数化

构造$(t_i,x_i)$和$(t_i,y_i)$主要是如何取$t_i$
通常$t_0=0,t_n=1$

❓ 对数据点$(x_i,y_i)$，对应哪个参数$𝑡_i$？
答：求数据点所对应的参数（点列的参数化）：一个降维的问题！

下面的参数化方法以二维为例。

均匀参数化 Equidistant (uniform) parameterization

$𝑡_{i+1}-𝑡_i=const$
例如：$𝑡_i=i$，得到的点对为{(1,x1),(2,x2),...,(n,xn)}和{(1,y1),(2,y2),...,(n,yn)}
缺点：Geometry of the data points is not considered

👆 用 uniform 角处比较尖锐，更好的参数化方法会得到更平滑的曲线。

弦长参数化 Chordal parameterization

$𝑡_{i+1}-𝑡_i=||k_{i+1}-k_i||$

Chordal 参数的距离与邻居点的距离成正比

中心参数化 Centripetal parameterization

$𝑡_{i+1}-𝑡_i=\sqrt{||k_{i+1}-k_i||}$

老师没有解释这种方法

Foley parameterization

老师没有解释这种方法

Involvement of angles in the control polygon

$$t_{i+1}-t_i = ||k_{i+1}-k_i|| \cdot \left(1+\frac{3}{2} \frac{\hat\alpha_i ||k_{i} - k_{i-1}||}{||k_{i}-k_{i-1}||+||k_{i+1}-k_i||}+\frac{3}{2} \frac{\hat\alpha_{i+1}||k_{i+1}-k_i||}{||k_{i+1}-k_i||+||k_{i+2}-k{i+1}||} \right)$$

with

$$\hat{\alpha } _i=\min (\pi -\alpha _i,\frac{\pi }{2} )$$

and

$$\alpha_{i}=angle(k_{i-1},k_i,k_{i+1})$$

四种方法的比较

点的参数化对曲线拟合的影响很大，需要好的参数化！

按照老师的意思，似乎得到的曲线越光滑，说明参数化越好。
参数化的本质是降维。即把曲线原本所在的空间，嵌入到参数空间。
如果降维的维度不对，或维度对了但分布不好，都会导致降维结果不好。[58:40]

曲面参数化

三维的点找二维的参数：一个降维的问题！

参数化约束：保持边长、网格面积、角度，就能得到比较好的参数结果。

曲面参数化的应用

• 纹理映射

• 地图绘制

可展曲面展成平面不会扭曲。
球面不可展，展开必定扭曲。

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