曲面的微分几何

Point p

Point p on the surface at $(u_0,v_0)$

Tangent $S_u$ in the u direction

$S_u=\frac{\partial S(u,v)}{\partial u}$

Tangent $S_v$ in the v direction

$S_v=\frac{\partial S(u,v)}{\partial v}$

$T=uS_u+vS_v$

$S_u 和 S_v$ 张成一个平面，称为切平面。

$N=\frac{S_u\times S_v}{||S_u\times S_v||}$

方向曲率：曲率是随着方向变化的

N 所在平面与曲面相交，得到平面曲线，有对应的曲率空间曲面的切线和曲率都是基于特定方向的。

两个方向（正交）曲率：最大曲率 $𝜅_1$ 和最小曲率 $𝜅_2$

其他方向曲率：

$k=k_1\cos ^2\theta +k_2\sin ^2\theta$

$\theta$ 是当前曲率方向与 $K_1$ 方向的夹角。

$k=k_1k_2$

等距变换不变量：曲面发生变形，但曲面上任意两点间距离不变。

可展曲面：处处高斯曲率为0的曲面。其展开为平面时不会发生变形。
有三类可展曲面：柱面、锥面、切线面

切线面：任意空间曲线的所有切线构成的面。

$k=\frac{k_1+k_2}{2}$

处处平均曲率为0的曲面：极小曲面

$\delta _i=\frac{1}{d_i} \sum _{\nu\in N(i)}(\nu_i-\nu)$

$\frac{1}{len(\gamma )} \int _{\nu\in \gamma }(\nu_i-\nu)ds$

$\lim_{len(\gamma ) \to 0} \frac{1}{len(\gamma )} \int _{\nu\in \gamma }(\nu_i-\nu)ds=H(\nu_i)n_i$

$\gamma$ 代表红点的邻域外围封闭曲线。
$V_i 是红点， V是\gamma$ 上的点。
$len(\gamma)$ 代表曲线长度。
$H(V_i)为 V_i$ 的平均曲率。

当曲线长度趋于0，其极限是一个常值。常值的方向为法向，大小为平均曲率。

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