1. Vertex Filtering
1.1 Laplacian Smoothing
原理
特点
- Equivalent to box filter in signal processing
- Apply to all vertices on mesh
- Typically repeat several times
- Can describe as energy minimization
• Energy = sum of squared edge lengths in mesh
• Parameter\(\lambda >0\)controls convergence "speed"
存在的问题
存在Over‐smoothing问题
存在Shrinkage问题
改进
- Laplacian
$$ P^{new} = P^{old}+\lambda L(P^{old}) $$
- Taubin’95：Laplacian + Expansion
$$ P^{new} = P^{old}-(\mu -\lambda )L(P^{old})-\mu \lambda L^2(P^{old}),\mu >\lambda >0 $$
图1：原图
图2：普通 Laplace
图3：Laplace + 收缩完再扩张回去。去噪同时保留了一些特征。
- Bilaplacian：Special case of Taubin’s
$$ P^{new} = P^{old}+\lambda L^2(P^{old}) $$
两阶拉普拉斯
1.2 Mean Curvature Flow
引入平均曲率、考虑了几何特征。
1.3 Bilateral filtering 双边滤波
此方向借鉴于图像算法
图像算法是的双边滤波
Bilateral:双边
U 和 P 代表U点与P点的位置
I(U) 和I(P)代表U和P点的值
分子：U 点对 P 点的影响表现I(P)前面的系数上。
系数考虑了两方面因素：
(1) U 与 P 的距离，反映了U 对 P 的影响力。
(2) I(U) 与I(P)的距离，反映了I(P)的特征性。
二者都是距离越大权重越小。
分母，归一化
例子：
👆 f是普通的高斯权重。fg是考虑了点的距离之后的权重。
除了U和I(U)，还可以根据实际情况加入更多的特征考量。
这也是人工提取特征，然后用公式表达出来的传统方法。
网格中的双边滤波
灰线：理想曲面，实际位置未知。
黄点：曲面上的点，由于带噪声呈上下分布。
蓝点：黄点中取的任意一点作为例子。
对蓝点做以下估计：
取P点邻域内的点，做PCA，最大特征值对应的向量为 P点的法向。
所有点向切平面上投影，得到距离1。
所有点向法线上投影，得到距离2。
由于同时考虑了距离1和距离2，因此称双边。
💡 我的想法：
前面提到的， feature 和 noise 很难区分。
比如例子中的棱角和噪声一样，具有高频、曲率大的特点。
但特征有连续性，在大的区间里表现出规律，而噪声不具备这个特点，可以据此区分。
效果：
1.4 Implicit Mesh Evolutions
explicit scheme：
$$ M_{n+1}=M_n+\lambda L(M_n) $$
implicit scheme：
$$ M_{n+1}=M_n+\lambda L(M_{n+1}) \\ \Rightarrow (I-\lambda L)M_{n+1}=M_n $$
隐式方法通过求解线性稀疏方程组得到结果（类似全局法）
❓ 认为噪声是沿着法向的偏移，本身就是一种猜测、为什么说用真实曲面的法向会更好呢？
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