Neither a global problem nor a local problem, but a large local problem
• Not an energy minimization problem
Need not $C^2$ continuous
• Circular spline
Intimately related to uniform distribution of curvature
• Curvature is a “magnifier” of the curve fairness

不能用 $\int K^2=MIN$ 来定义，有可能k不大，但频繁挠动，仍不算光顺。

Example 1

$y=\sin x, x\in[0,6\pi]$

The curve is $C^\infty$ ，但并不光顺
原因：拐点（vibration）数太多
拐点即 from convex to concave or from concave to convex

Example 2

$y=\frac{1+\delta }{0} x^2+\sin x,x\in [0,6\pi ],\delta >0$

${y}'' =1+\delta -\sin x > 0$

The curve is $C^\infty$ 且一直在递增无拐点，但仍不光顺
原因： $y''$ 有太多振荡。

Example 3

The curvature function ${y}''(x)$ 不满足G2连续。
$k_1$ 与 $k_2$ 变化不大时光顺。
原因： ${y}''(x)$ has large amplitude at discontinuity point.

不满足 $C^2$ 连续，但光顺，因此 $C^2$ 不是必须的。

曲线的光顺的“新定义”

一条曲线是光顺的，如果
（1）它是 $C^{l+1} ( l > 0 )$ 连续的；
（2）它的曲线本身拐点较少；
（3）它的曲率图的拐点较少；
（4）它的曲率图变化的振幅相对小。

说明 1：条件(1)中的 $C^{1+l}$ 是要求曲线为 $C^{1}$ 连续而不必 $C^{2}$ ,但 $C^{1}$ 的导数满足有界变差。条件 (4) 则要求曲线在曲安非连续点处的跳跃要尺尽可能小。
说明 2：满足 (2)和(3)描述的曲线的它的曲率图含有的单调段都会相对少。这与前面所述的判别准则 1-4 一致。
💡 光顺很难定义，为什么一定要给它一个定义？因为定义代表了一个明确的标准，在同一个标准下讨论问题才有意义。

Remarks

震荡数 Vibration：Change from convex to concave or change from concave to convex
一阶震荡数 First vibration number $R$ ：Vibration number of $y(x)$
二阶震荡数 Second vibration number $S$ ：Vibration number of curvature function

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