从曲线的曲率图的直观理解

看上去光滑的曲线，放大后发现是凹凹凸凸的（右）

Fairing Design is Important!

• Shoe sole
• Cam profile
• Ship hull：船的表面光顺可以减小水的阻力。
• Car profile
• Plane profile
• …

光顺的定义

为什么光顺难以定义

光顺是一种微观的性质，很难描述
是否光顺取决于人的主观和经验
没有明确的数学定义
没有客观的测量方法

光顺的参考定义

  1. [Su and Liu 1978]
  • \(C^2\) continuous
  • curvature plot is free of any unnecessary variation
    例如： the distribution of curvature must be as uniform as possible.
  1. [Farin and Sapidis, 1989]
  • curvature plot consists of relatively few 单调段（monotone pieces）
  1. [Farin 2002]
  • curvature plot is continuous
  • curvature plot consists of only a few monotone pieces.
  1. [Roulier and Rando, 1994]
  • \(C^2\) continuous
  • minimizes the integral of the squared curvature with respect to arc length

$$ \int _ck^2ds=MIN $$

这是用整条曲线的能量来定义，是全局面定义法。

Observations of Fairness

  • Neither a global problem nor a local problem, but a large local problem
    • Not an energy minimization problem
  • Need not \(C^2\) continuous
    • Circular spline
  • Intimately related to uniform distribution of curvature
    • Curvature is a “magnifier” of the curve fairness

不能用\(\int K^2=MIN\) 来定义，有可能k不大，但频繁挠 动，仍不算光顺。

Example 1

$$ y=\sin x, x\in[0,6\pi] $$

The curve is \(C^\infty \)，但并不光顺
原因：拐点（vibration）数太多
拐点即 from convex to concave or from concave to convex

Example 2

$$ y=\frac{1+\delta }{0} x^2+\sin x,x\in [0,6\pi ],\delta >0 $$

$$ {y}'' =1+\delta -\sin x > 0 $$

The curve is \(C^\infty \)且一直在递增无拐点，但仍不光顺
原因：\(y''\)有太多振荡。

Example 3

The curvature function \({y}''(x) \)不满足G2连续。
\(k_1\)与\(k_2\)变化不大时光顺。
原因：\({y}''(x) \) has large amplitude at discontinuity point.

不满足\(C^2\)连续，但光顺，因此\(C^2\)不是必须的。

曲线的光顺的“新定义”

一条曲线是光顺的，如果
（1）它是\(C^{l+1} ( l > 0 )\)连续的；
（2）它的曲线本身拐点较少；
（3）它的曲率图的拐点较少；
（4）它的曲率图变化的振幅相对小。

说明 1： 条件(1)中的 \(C^{1+l}\) 是要求曲线为 \(C^{1}\) 连续而不必\(C^{2}\),但\(C^{1}\)的导数满足有界变差。条件 (4) 则要求曲线在曲安非连续点处的跳跃要尺尽可能小。
说明 2： 满足 (2)和(3)描述的曲线的它的曲率图含有的单调段都会相对少。这与前面所述的判 别准则 1-4 一致。
💡 光顺很难定义，为什么一定要给它一个定义？因为定义代表了一个明确的标准，在同一个标准下讨论问题才有意义。

Remarks

震荡数 Vibration：Change from convex to concave or change from concave to convex
一阶震荡数 First vibration number \(R\)：Vibration number of \(y(x)\)
二阶震荡数 Second vibration number \(S\)：Vibration number of curvature function

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