两种观点，两种表达方式

使用幂基来表达曲线

二次多项式曲线（抛物线）:

$$𝑓(t)=at^2+bt+c$$

几何观点：基函数为这些顶点的组合权系数。

从几何观点来看，系数顶点与曲线本身无直观的联系，因此无几何意义！ 不利于用户来交互修改曲线：适用于重建，但不适用于设计

使用Bernstein基函数表达

使用Bernstein基函数来改写

$$f(t)=\binom{1}{1} t^2+\binom{-2}{0} t+\binom{1}{0}$$

$$\downarrow$$

$$f(t)=\binom{1}{0} (1-t)^2+\binom{0}{0} 2t(1-t)+\binom{0}{1} t^2$$

系数顶点与曲线关联性强，具有很好的几何意义。对于交互式曲线设计更观

用Bernstein基函数所表达的曲线具有非常好的几何意义！

Bernstein基函数

$n$次Bernstein基函数:$B=${$B_0^{(n)},B_1^{(n)},\cdots ,B_n^{(n)}$}

$$B_i^{(n)}(t)=\binom{n}{i}t^i(1-t)^{n-i}=B_{i-th basis function}^{(degree)}$$

where the binomial coefficients are given by: $$\binom{n}{i}= \begin{cases} \frac{n!}{(n-i)!i!} && for \quad 0\le i\le n \\ 0 && otherwise \end{cases}$$

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