曲线的几何连续性

参数连续性

定义

在数学分析/高等数学中，我们所说的“连续性”（光滑性）是指“参数连续性”：

给定两条曲线$x_1(t)$和$x_2(t)$，其中$x_1(t)$定义在$[t_0,t_1]$，$x_2(t)$定义在$[t_1,t_2]$

曲线$𝒙_1$和$𝒙_2$在$t_1$称为$C^r$连续的，如果它们的从$0^{th}$（$0$阶）至$r^{th}$（$𝑟$阶）的导数向量在$𝑡_1$处完全相同。

$C^{-1}$：表示不连续
$C^0$: position varies continuously
$C^1$: First derivative is continuous across junction。即 the velocity vector remains the same
$C^2$: Second derivative is continuous across junction 即 The acceleration vector remains the same

参数连续性的不足

参数连续性过于严格，在几何设计中不太直观

• 例子1：一条线段v0v1

表示为分段函数：

$$ \varphi(t)=\begin{cases} v_{0}+\frac{v_{1}-v_{0}}{3} t, 0 \leq t \leq 1\\ v_{0}+\frac{v_{1}-v_{0}}{3}+\frac{2\left(v_{1}-v_{0}\right)}{3}(t-1), 1 \leq t \leq 2 \end{cases} $$

线段上的任意点应该是处处连续的。但是， $$ {\varphi }'(1-)=\frac{v_{1}-v_{0}}{3},{\varphi }' (1+)=\frac{2(v_{1}-v_{0})}{3} $$

$\varphi (t)$在$t=1$的左右导数不相等，因此，$\varphi(t)$在$[0,2]$中不是$C^1$的，与直线的连续性应是$C^\propto$的矛盾。

❓ 问：为什么此时在$t=1处 C^{1}$不连续
答：导数反应的是对变量的变化率，而图中两段的$t$是不同的变量。
因此，参数连续性依赖于参数的选择，同一条曲线，参数不同，连续阶也不同。

• 例子2：同一条线段，但对参数化方法做一些改造：

表示为分段函数：

$$ \varphi(t)=\begin{cases} v_{0}+\frac{v_{1}-v_{0}}{3} t, 0 \leq t \leq \frac{2}{3}\\ v_{0}+\frac{v_{1}-v_{0}}{3}+\frac{\left(v_{1}-v_{0}\right)}{3}(t-\frac{2}{3}), \frac{2}{3} \leq t \leq 2 \end{cases} $$

则${\varphi }' (\frac{2}{3}- )={\varphi }' (\frac{2}{3}+ ),\varphi (t)$在$[0,2]$就是$C^\infty $了。

这个参数化方法的改造，本质是引入了参数的一个变换

$$ t=\begin{cases} \frac{2}{3}s,0\le s\le \frac{2}{3},\\ \frac{3}{4}(s-\frac{2}{3})+1,\frac{2}{3}\le s\le 2. \end{cases} $$

使得原来不是$C^1 $的曲线变为$C^1 $的了。

参数连续性依赖于参数定义，无法刻画曲线本征的特性。因此引入几何连续性。

几何连续性

定义

设$\varphi (t)(a\le t\le b)$是给定的曲线。若存在一个参数变换$ t=p(s)(a_1\le s\le b_1)$, 使得$\varphi (p(s))\in C^n[a_1,b_1]$,且$\frac{d\varphi (p(s))}{ds} \ne 0$, 则称曲线$\varphi (t)(a\le t\le b)$是$n$阶几何连续的曲线，记为 $$ \varphi (t)\in GC^n[a,b] $$

或

$$ \varphi (t)\in G^n[a,b] $$