曲线的几何连续性

参数连续性

定义

在数学分析/高等数学中，我们所说的“连续性”（光滑性）是指“参数连续性”：

给定两条曲线 $x_1(t)$ 和 $x_2(t)$ ，其中 $x_1(t)$ 定义在 $[t_0,t_1]$ ， $x_2(t)$ 定义在 $[t_1,t_2]$

曲线 $𝒙_1$ 和 $𝒙_2$ 在 $t_1$ 称为 $C^r$ 连续的，如果它们的从 $0^{th}$ （ $0$ 阶）至 $r^{th}$ （ $𝑟$ 阶）的导数向量在 $𝑡_1$ 处完全相同。

$C^{-1}$ ：表示不连续
$C^0$ : position varies continuously
$C^1$ : First derivative is continuous across junction。即 the velocity vector remains the same
$C^2$ : Second derivative is continuous across junction 即 The acceleration vector remains the same

参数连续性的不足

参数连续性过于严格，在几何设计中不太直观

• 例子1：一条线段v0v1

表示为分段函数：

$\varphi(t)=\begin{cases} v_{0}+\frac{v_{1}-v_{0}}{3} t, 0 \leq t \leq 1\\ v_{0}+\frac{v_{1}-v_{0}}{3}+\frac{2\left(v_{1}-v_{0}\right)}{3}(t-1), 1 \leq t \leq 2 \end{cases}$

线段上的任意点应该是处处连续的。但是， ${\varphi }'(1-)=\frac{v_{1}-v_{0}}{3},{\varphi }' (1+)=\frac{2(v_{1}-v_{0})}{3}$

$\varphi (t)$ 在 $t=1$ 的左右导数不相等，因此， $\varphi(t)$ 在 $[0,2]$ 中不是 $C^1$ 的，与直线的连续性应是 $C^\propto$ 的矛盾。

❓ 问：为什么此时在 $t=1处 C^{1}$ 不连续
答：导数反应的是对变量的变化率，而图中两段的 $t$ 是不同的变量。
因此，参数连续性依赖于参数的选择，同一条曲线，参数不同，连续阶也不同。

• 例子2：同一条线段，但对参数化方法做一些改造：

表示为分段函数：

$\varphi(t)=\begin{cases} v_{0}+\frac{v_{1}-v_{0}}{3} t, 0 \leq t \leq \frac{2}{3}\\ v_{0}+\frac{v_{1}-v_{0}}{3}+\frac{\left(v_{1}-v_{0}\right)}{3}(t-\frac{2}{3}), \frac{2}{3} \leq t \leq 2 \end{cases}$

则 ${\varphi }' (\frac{2}{3}- )={\varphi }' (\frac{2}{3}+ ),\varphi (t)$ 在 $[0,2]$ 就是 $C^\infty$ 了。

这个参数化方法的改造，本质是引入了参数的一个变换

$t=\begin{cases} \frac{2}{3}s,0\le s\le \frac{2}{3},\\ \frac{3}{4}(s-\frac{2}{3})+1,\frac{2}{3}\le s\le 2. \end{cases}$

使得原来不是 $C^1$ 的曲线变为 $C^1$ 的了。

参数连续性依赖于参数定义，无法刻画曲线本征的特性。因此引入几何连续性。

几何连续性

定义

设 $\varphi (t)(a\le t\le b)$ 是给定的曲线。若存在一个参数变换 $t=p(s)(a_1\le s\le b_1)$ , 使得 $\varphi (p(s))\in C^n[a_1,b_1]$ ,且 $\frac{d\varphi (p(s))}{ds} \ne 0$ , 则称曲线 $\varphi (t)(a\le t\le b)$ 是 $n$ 阶几何连续的曲线，记为 $\varphi (t)\in GC^n[a,b]$