多项式的优点与缺点

这种类似于$\sum a_if_i(x)$的形式都叫多项式，根据$f_i(x)$的不同的定义，会成为不同的多项。例如以幂函数为基的是幂基多项式，比Berstein为基的是Bertein多项式。

优点

1. 易于计算, 表现良好, 光滑, ...
2. 表达能力足够!
   魏尔斯特拉斯Weierstrass定理:令$f$为闭区间$[a, b]$上任意连续函数, 则对任意给$\varepsilon$, 存在$n$和多项式$P_n$使得

$$\left|f(x)-P_{n}(x)\right|<\varepsilon, \forall x \in[a, b]$$

翻译成人话是：$Pn(x)$可以在一定误差内拟合任意$f(x)$。只要n足够大。
这里$x的范围区间是[a,b]，通常考虑[0,1]$

Weierstrass只证明了存在性,未给出多项式

Bernstein多项式

完备性

伯恩斯坦Bernstein给出了Bernstein的完备性证明：
对$[0,1]$区间上任意连续函数$f(x)$和任意正整数$n$, 以下不等式对所有$x\in[0,1]$成立

$$|f(x)-B_n(f,x)|<\frac{9}{4} m_{f,n}$$

$m_{f,n}$=lower upper bound of |$f(y_1)-f(y_2)$|

$y_1, y_2\in[0,1]$ 且|$y_1-y_2$|<$\frac{1}{\sqrt{n}}$

$$B_n(f, x)=\sum_{j=0}^{n} f(x_j) b_{n, j}(x)$$

其中$x_j$ 为[$0,1$]上等距采样点，$b_{n,j}$为Bernstein基

$$b_{n,j} = \binom{n}{j} x^j (1-x)^{n-j}$$

$\binom{n}{j}相当于{\textstyle C_{n}^{j}}$,排列组合的意思。

Bernstein基

• $b_{0,0}(x)=1$
• $b_{0,1}(x)=1-x, b_{1,1}=x$
• $b_{0,2}(x)=(1-x)^2, b_{1,2}=2x(1-x),b_{2,2}=x^2$
• $b_{0,3}(x)=(1-x)^3,b_{1,3}=3x(1-x)^2, b_{2,3}=3x^2(1-x),b_{3,3}=x^3$
• $b_{0,4}(x)=(1-x)^4,b_{1,4}=4x(1-x)^3,b_{2,4}=6x^2(1-x)^2, b_{3,4}=4x^3(1-x),b_{4,4}=x^4$

🔎 [36：40]
✅ 矩阵的本质：在不同的基函数空间做变换
6张图分别是0-5次的 Bernstein 基。

Bernstein多项式的优点

Bernstein基函数的良好性质：

• 非常好的几何意义！
• 正性、权性（和为1）$\Rightarrow$凸包性

权性。上面图中，任意画一条竖线，线上点的$y$值和为1
[?] 什么是凸包性？为什么有权性就有凸包性？
为什么凸包性就计算稳定？

• 变差缩减性
• 递归线性求解方法
• 细分性
• …

🔎 丰富的理论：CAGD 课程

关于Bernstein函数的两种观点

🔎 [46：17]

$$B_{n}(f, x)=\sum_{j=0}^{n} f\left(\frac{i}{n}\right) b_{n, j}(x)$$

$f(x)$是一个离散函数， $f(\frac{i }{n} )$为$x$为第i个采样点时$f(x)$的值，因此 $f(\frac{i}{n} )$代表能有采样点。

红色实际上是基于蓝点画的 Bezier 曲线。

代数观点

蓝色为采样点$f(\frac{i}{n} )$，$b_{n,j}(x)$是系数，用系组来组合采样点。 红色为拟合曲线$B_n (f,x)$。当采样点足够多时$n\to \infty$，得到$f(x)逼近 B_n (f,x)$ 红线逼近蓝点。

几何观点

$f(\frac{i}{n})$是系数，$bn_1,j(x)$是基函数，用系数来组合基函数，得到新的函数。

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