三次样条函数的来源

[14:00]

👆 每个三角形代表一个压铁。

物理推理过程省略，最后结论是两压铁间$y(x)$为三次函数，即样条曲线为分段三次函数。

❓ 问：为什么是3次？
答：2次多项式无法表达拐点，不够自由。高次（4次及以上）多项式拐点多，次数若较高计算易出现较大误差。3次正好

三次样条曲线的求解

已知每个压铁的位置，求压铁之间的三次函数。思考：
• 每段多项式函数之间满足什么条件？
• 如何求解？

求解思路

根据已知条件来定义变量

每段为3次多项式，因此每一段函数的形式如下，且有4个变量（待定系数）

$$y_i(x)=a_i+b_ix+c_ix^2+d_ix^3$$

假设有$n+1$个型值点（$n$段），则总共有个$4n$变量。

根据已知条件来设置约束

• 首先，曲线要插值型值点，有$n+1$个约束条件；
• 其次，假设曲线整体为$C^2$连续，则相邻两段在拼接点要满足3个条件（$C^0$连续、$C^1$连续、$C^2$连续）；则有$3n-3$个约束条件；

到目前为止共有$4n-2$个约束条件；因此，再加2个额外条件，即可唯一确定整条曲线。

根据边界条件来设置约束

在首尾的控制点上各增加一条约束，见[23:36]的边界条件。例如：

• 自由端：指定曲线在两个端点处的二阶导数值
  特别地，两个端点的二阶导数值指定为0时称为自然三次样条

• 夹持端： 指定曲线在两个端点处的一阶导数值

• 抛物端：首末两段为抛物线

• 周期端

• 混合边界条件

方法1

1. 引入中间变量：节点处的2阶导数值$M_i$（弯矩）
2. 每段${y}''(x)$表达为$M_i$和$M_{i+1}$的线性插值，则$y_i(x)$为包含待定值$M_i$的3次多项式
3. 再根据拼接条件（$C^0$、$C^1$、$C^2$连续），列出等式
4. 最后加上2个边界条件，构成关于{$(M_i,i=1,...,n-1)$}的$(n-1)\times (n-1)$阶的线性方程组
   方程组为对称的、三对角的、对角占优的，称为三弯矩方程组。方程组系数矩阵满秩，有唯一解。可用追赶法求解三弯矩方程组。

方法2

1. 引入中间变量：节点处的1阶导数值$M_i$（转角）
2. …（推导过程类似）
3. 最后加上2个边界条件，构成关于{$M_i,i=1,...,n-1$}的$(n-1)\times(n-1)$阶的线性方程组
   方程组为对称的、三对角的、对角占优的，称为三转角方程组。方程组系数矩阵满秩，有唯一解。同样可用追赶法求解三转角方程组。

简化的计算技巧

Hermite型插值多项式

如果已知两个压点的位置及一阶导，则可以快速求出三次曲线(Hermite)。

假设

$$\begin{cases} S(x_{i-1})=f_{i-1}\\ S(x_i)=y_i \end{cases}$$

$$\begin{cases} {s}' (x_{i-1})=m_{i-1} \\ {s}' (x_i)=m_i \end{cases}$$

预先求出一组满足性质的四条曲线，分别是（1）经过x0且其它点都为0（2）经过x1且其它点都为0（3）x0的导数满足要求，其它都为0（4）x1的导数满足要求，其它都为0
其它曲线都可以通过这四条曲线组合出来。

当$x=\in [x_{i-1},x_i]$时，有
$$S(x)=y_{i-1}h_0(x)+y_ih_1(x)+m_{i-1}H_0(x)+m_iH_1(x)$$

对函数有4个约束：
分别针对每个约束得到4个函数，即 $h_0,h_c,H_0,H_1$。
$s(x)$为这4个函数的线性组合。

Lidstone型插值多项式

已知两个压点的位置和二阶导，也能快速求出曲线。

具体过程没讲，跟上面的方法类似

好处：在给定两个端点及其导数情况下，可直接写出函数的表达形式，这是数学上的一个通用技巧

❓ 虽然没怎么听懂，但感觉是类似【技巧1构造插值问题的通用解】(link)的一种方法。

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