Local Laplacian Smoothing 方法存在的问题

1. 不同位置收敛速度不同
2. 自交

Global Laplacian Smoothing

极小曲面

方法

极小曲面(minimal surface) = 平均曲率处处为0 = 微分坐标一致为0

所有顶点的方程联立，得到网格曲面的整体Laplacian方程：

$$Ax = 0 \\ x=(v_1,v_2,\dots ,v_n)^\top$$ $A 的第 i 行为 (v_i)的系数，即 第i个系数为1，第j个系数为 w_{ij}$,其余为0.整体上非常稀疏。

应用：生成极小曲面

• 检测边界，固定边界
• 构建稀疏方程组$(\delta=0)$

global体现在所有点的约束同时满足，不需要像Local那样迭代出极小曲面。
但是global需要求解方程组，可以用数学方法，也可以用迭代方法。

• 求解稀疏方程组

注：有高效的求解方法，且有成熟的数学库可使用MLK, Eigen

• 更新内部顶点坐标

任意曲面

也不一定目标是极小曲面，可以是指定曲率的曲面，则Laplacian Matrix为：

方法

$$A_{ij}=\begin{cases}  1 , i\in N(j)\\ 0, otherwise \end{cases}$$

$$D_{ij}=\begin{cases}  d_i, i=j\\ 0, otherwise \end{cases}$$

$$L=I-D^{-1}A$$

考虑到每个点有x, y, z三个分量，展开来是这样的：

增加将边界点固定的约束。

应用：Reconstruction

根据拓扑关系生成L矩阵，那么在拓扑不变的情况下，就可以根据提前记录下的$\delta$还原出原曲面。

$$Lv=\delta$$

不断减小$\delta$而更新V,得到极小曲面。

Rank(L) = n‐c (n‐1 for connected meshes)
L 非满秩， C 为 mesh 的联通个数，至少为1.
必须增加额外约束使L满秩。

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