动理学基础
两种描述层级
流体力学 中的欧拉网格法求解的是宏观量：密度 \(\rho(\mathbf{x},t)\) 与速度 \(\mathbf{u}(\mathbf{x},t)\)，方程是 Navier-Stokes 方程。
动理学（kinetic theory）换一个层级，用速度分布函数描述流体：
\[f(\mathbf{x}, \boldsymbol{\xi}, t)\]
它的含义是：在时刻 \(t\)、位置 \(\mathbf{x}\) 附近单位体积内，速度落在 \(\boldsymbol{\xi}\) 附近单位速度区间内的分子数。
这是连续介质假设下面的一层：连续统里的流体微团，在这里被看成大量分子的统计集合。
从分布函数提取宏观量
宏观量是分布函数的矩：
\[\rho = \int f , d\boldsymbol{\xi}, \qquad \rho\mathbf{u} = \int \boldsymbol{\xi} f , d\boldsymbol{\xi}\]
二阶矩给出动量通量张量：
\[\boldsymbol{\Pi} = \int \boldsymbol{\xi}\boldsymbol{\xi} f , d\boldsymbol{\xi} = \rho\mathbf{u}\mathbf{u} + p\mathbf{I} - \boldsymbol{\sigma}\]
其中 \(p\) 是压强，\(\boldsymbol{\sigma}\) 是粘性应力张量。这一步说明：只要知道 \(f\)，Navier-Stokes 方程里的所有宏观量都能算出来。
玻尔兹曼输运方程
\(f\) 的演化由玻尔兹曼输运方程给出：
\[\frac{\partial f}{\partial t} + \boldsymbol{\xi}\cdot\nabla_{\mathbf{x}} f = \Omega(f)\]
- 左端：分子在无碰撞情况下的自由飞行，即迁移
- 右端：\(\Omega(f)\) 是碰撞算子，描述分子间碰撞引起的分布变化
这个方程的两项与后面格子气自动机的两个步骤完全对应。
碰撞算子的性质
碰撞不产生也不消灭质量与动量，所以
\[\int \Omega(f) , d\boldsymbol{\xi} = 0, \qquad \int \boldsymbol{\xi}, \Omega(f) , d\boldsymbol{\xi} = 0\]
对玻尔兹曼方程两端关于 \(\boldsymbol{\xi}\) 取矩，就得到宏观的连续性方程与动量方程。这是"从动理学还原到连续统"的第一层含义。
平衡态
碰撞使分布趋于局部平衡。令 \(\Omega(f)=0\) 得到的解是 Maxwell-Boltzmann 分布
\[f^{eq} = \frac{\rho}{(2\pi R T)^{D/2}} \exp\left(-\frac{|\boldsymbol{\xi}-\mathbf{u}|^2}{2RT}\right)\]
H 定理保证这个平衡态是碰撞的吸引子，也就是熵最大的状态。
BGK 近似
完整的碰撞算子是复杂的积分，工程上常用 BGK 近似（Bhatnagar-Gross-Krook, 1954）：
\[\Omega(f) \approx -\frac{1}{\tau}\left(f - f^{eq}\right)\]
物理含义：分布 \(f\) 以时间常数 \(\tau\) 松弛到局部平衡分布 \(f^{eq}\)。
- \(\tau\) 大 → 松弛慢 → 粘性大
- \(\tau\) 小 → 松弛快 → 粘性小
这个近似把碰撞从一个积分算子简化成一次代数插值，是 LBM 能高效实现的关键。从形式上看，它也是 LBM 里唯一带参数的环节。
从动理学还原到 Navier-Stokes
把 \(f\) 按一个小参数 \(\epsilon\)（与克努森数同量级）展开：
\[f = f^{(0)} + \epsilon f^{(1)} + \epsilon^2 f^{(2)} + \cdots\]
代入玻尔兹曼方程并按 \(\epsilon\) 的阶次分离，这一过程称为 Chapman-Enskog 展开：
| 阶次 | 内容 | 结果 |
|---|---|---|
| 零阶 | \(f^{(0)} = f^{eq}\) | 给出 \(\rho\) 与 \(\mathbf{u}\) 的定义，对应无粘的欧拉方程 |
| 一阶 | \(f^{(1)}\) 由迁移项驱动 | 给出粘性应力张量 |
| 二阶 | 闭合 | 还原出完整的 Navier-Stokes 方程 |
这是动理学方法的理论保证：玻尔兹曼方程在宏观极限下就是 Navier-Stokes 方程。 后面 LBM 的粘度公式也是从这一步得到的。
三层描述的关系
| 层级 | 描述变量 | 演化方程 | 离散化后得到 |
|---|---|---|---|
| 连续统（宏观） | \(\rho, \mathbf{u}\) | Navier-Stokes | 有限差分 / 有限体积 / 有限元 + 投影法 |
| 动理学（介观） | \(f(\mathbf{x},\boldsymbol{\xi},t)\) | 玻尔兹曼输运方程 + BGK | 格子玻尔兹曼方法 LBM |
| 分子（微观） | 每个分子的位置与速度 | 牛顿第二定律 | 分子动力学 MD |
本章要讲的 LBM 位于中间层：它比宏观方程多保留一个速度维度的信息，因此不需要额外解压强泊松方程；又比微观分子模拟粗得多，因此计算量可控。
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