Two Types of Simulation Approaches

数值模拟方法可分为拉格朗日方法和欧拉方法两大类。

Lagrangian Approach	Eulerian Approach
✅ 无 Grid. 物理量附加在粒子上，粒子运动时更新自身物理量。	✅ 固定 Grid. 物理量固定在 Grid 上。粒子运动后统一新格子的物理量。
拉格朗日法中计算网格随物质一起变形，可方便地跟踪材料界面和引入与变形历史相关的材料模型，但对于涉及特大变形的问题会因网格严重畸变而产生数值求解困难，且难以有效地模拟材料的破碎、融化和汽化等行为。此类方法代表性程序为DYAN。	欧拉法中计算网格固定在空间中，不存网格畸变问题，但不易跟踪材料界面，且非线性对流项也会导致数值求解困难。

粒子法与网格法的结合

$$ \frac{D}{Dt} = \frac{\partial}{\partial t} + U \cdot \nabla $$

这个公式将欧拉法与拉格朗日法联系在一起 \(\frac{\partial}{\partial t}\) 代表固定点物理属性随时间的变化。
\(\frac{D}{Dt}\) 代表流动粒子的物理属性随时间的变化。
\(U \cdot \nabla\) 代表物理属性随位置的变化。

欧拉网格上的物理属性基于 \(\frac{\partial}{\partial t}\) 更新。 拉格朗日粒子上的物理属性基于 \(\frac{D}{Dt}\) 更新。

Motivation

• Recall that a fluid solver usually has two components:
  • Advection (evolving the fields)
  • Projection (enforcing incompressibility)
• Eulerian grids are really good at projection:
  • Easy to discretize
  • Efficient neighbor look-up
  • Easy to precondition (geometric multigrid)
• But Eulerian grids are bad at advection...
  • Dissipative: loss of energy and geometry

常见方法

发展趋势

1. 多尺度耦合：如量子-分子动力学-连续体的跨尺度模拟。
2. 机器学习加速：用神经网络替代部分网格求解或粒子交互。
3. 高性能计算优化：针对GPU/异构计算设计混合算法。

Reference

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https://caterpillarstudygroup.github.io/GAMES103_mdbook/