Position Based Dynamics (PBD)

每个顶点独立仿真，也不用考虑弹簧力。
顶点独立运动后，约束被破坏。通过投影的方式保持约束。投影是指，直接当前的(不合理的)状态直接变成最近的合理的状态。难点在于怎么找到最近的合理的状态。 

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title: PBD
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flowchart LR
    Current(["当前状态"]) 
    Constrain[("约束")]
    Outter[("外力")]
    NextWoConstrain(["不考虑约束的下一时刻状态"]) 
    Next(["下一时刻状态"])

    Outter & Current --> 显式积分 --> NextWoConstrain
    Constrain & NextWoConstrain --> 基于投影函数的顶点位置更新 --> 速度更新-->Next --> Current

基于投影函数（Projection Function）的顶点位置更新

$$ \mathbf{x} ^{\mathbf{new} } \longleftarrow \mathrm{Projection} (\mathbf{x} ) $$

下面以长度约束为例，但该方法同样适用于其他约束类型，包括三角形约束、体积约束与碰撞约束，实现这些约束仅需定义其对应的投影函数即可。

P5

A Single 长度约束

根据长度约束定义投影函数：

$$ \mathbf{ϕ} (\mathbf{x} )=||\mathbf{x} _i− \mathbf{x} _j||−L=0 $$

P6

✅ 把\(\mathbf{x}_ i\)和\(\mathbf{x}_ j\)拼成6维空间中的点\(\mathbf{x}\)，满足约束的\(\mathbf{x}\)构成6D空间中的一块区域；
✅ 投影函数的目标：(1)把\(\mathbf{x}\)移到区域内。 (2)移动距离最短。

x为不满足约束点的，边界为约束，绿点为投影后满足约束的点

因此构成优化问题：

$$ {\mathbf{x} _i^{\mathbf{new}},\mathbf{x} _j^{\mathbf{new} }}= \argmin \frac{1}{2}{m_i||\mathbf{x} _i^{\mathbf{new} }−\mathbf{x} _i||^2+m_j||\mathbf{x} _j^{\mathbf{new}} −\mathbf{x} _j||^2}
$$

such that \(\mathbf{ϕ} (\mathbf{x} )=0\)

✅优化问题，但不是通过迭代解决，而是数值求解，直接算出最优的\(\mathbf{x}_i\)和\(\mathbf{x}_j\).

解得：

$$ \mathbf{x} ^{\mathbf{new} } \longleftarrow \mathrm{Projection} (\mathbf{x}) $$

$$ \mathbf{x} _i^{\mathbf{new} }\longleftarrow \mathbf{x} _i−\frac{m_j}{m_i+m_j} (||\mathbf{x} _i−\mathbf{x} _j||−L)\frac{\mathbf{x} _i−\mathbf{x}_j}{||\mathbf{x} _i−\mathbf{x} _j||} $$

$$ \mathbf{x} _j^{\mathbf{new} }\longleftarrow \mathbf{x} _j+\frac{m_i}{m_i+m_j} (||\mathbf{x} _i−\mathbf{x} _j||−L)\frac{\mathbf{x} _i−\mathbf{x}_j}{||\mathbf{x} _i−\mathbf{x} _j||} $$

$$ \quad $$

$$ \mathbf{ϕ} (\mathbf{x} ^{\mathbf{new} })=||\mathbf{x} _i^{\mathbf{new} }− \mathbf{x} _j^{\mathrm{new} }||−L=||\mathbf{x} _i−\mathbf{x} _j−\mathbf{x} _i+\mathbf{x} _j+L||−L=0 $$

✅ 对推导结果的合理性解释：(1) 移到前后质心不变。(2) 移到方向为沿着或远离质心。(3) 移到距离与自身重量有关。

✅ 对于固定点，将质量设置为无限大，且不做速度和位置的更新。

P8

Multiple 约束 – A Gauss-Seidel Approach

一次只针对一个约束作的投影，因此是局部优化方法。

对于多个弹簧的情况呢？Gauss-Seidel解法会按特定顺序依次处理每个弹簧的投影。假设存在两个单位原长的弹簧……

P9

  • 无法保证所有约束条件都能被完全满足，但迭代次数越多，约束条件的满足度就越高。
  • 处理顺序会影响结果：顺序可能导致偏差，并影响收敛表现。

P10

Multiple 约束 – A Jacobi Approach

为消除偏差，雅可比法会同步计算所有边的投影，再线性融合结果。

  • 存在收敛速度更慢的问题。

  • 迭代次数越多，约束条件满足度越高。

速度更新

$$ \mathbf{v}\longleftarrow \mathbf{v} +(\mathbf{x} ^{\mathbf{new} }−\mathbf{x})/∆t $$

✅\(\mathbf{v}\)的更新不是直接覆盖，而是叠加。

P12

Pros and Cons of PBD

优势

  • 可在GPU上并行计算（如PhysX框架）
  • 实现难度低
  • 在低分辨率场景下运行速度快

✅ 一般来说，少于1000个点时能实时，多于1000个点时效率明显下降
✅ PBD 适用于低分辨率场景、常见的低精度实时模拟的套路。
❗ 模拟真正的时间开销不在计算 (虽然有很多计算公式) 而是在内存的访问上。
PBD 的优点是内存访问少、因为它没有太多物理变量。
因此，对追求效率的场景，主要优化内存访问而不是计算。

  • 通用性强，能处理多种耦合效应及约束条件（包括流体模拟）

劣势

  • 物理准确性不足

✅ 弹性表现受网格数量影响(迭代数多则弹性差、网格顶点少则弹性差。) 没有所谓的精确解(难以控制) 迭代数过多会导致locking issue.

  • 高分辨率场景下性能较差
    • 分层处理方法（可能引发振荡等问题）
    • 加速方案，如切比雪夫加速法

P13

After-Class Reading

Muller. 2008. Hierarchical Position Based Dynamics. VRIPHYS.

✅ NVIDIA的很多物理引擎都是基于PBD的

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