流体力学

流体力学将物体建模为物质在其体内连续分布的实体，称为流体微团。

连续性方程描述了物理量在时空中的输运

其中：

公式 (1) 表明，在固定位置处任何物理属性的变化率 ∂A/∂t 取决于 Au 通量所带来的变化以及源项 s 的贡献。

针对公式 (1) 中的物理属性 A，流场可从拉格朗日或欧拉视角进行分析：

欧拉视角 基于固定位置来研究物理属性的变化。在给定位置 x 处物理量 A 的变化率即为公式 (1) 中的 ∂A(x, t)/∂t 项。虽然直观，但这一视角并未显式表达连续介质假设中流体微团的运动，因为微团始终在不同时刻流经固定的空间位置。

拉格朗日视角 通过将公式 (1) 改写为以下形式，研究流体微团的物理属性变化：

其中 D(·)/Dt 即所谓的物质导数，表示流体微团内物理量 A 的变化率。

纳维-斯托克斯方程

纳维-斯托克斯方程描述了流体流动的动力学规律，是流体仿真的根本基础。

在封闭系统中，流体的质量随时间保持守恒。该原理由连续性方程（公式（1））表示。令 A 为流体密度，并设 s ≡ 0，则公式（1）可改写为：

在不可压缩流动的情况下，流体内的密度变化保持恒定，即 Dρ/Dt = 0。该条件进一步意味着速度场无散度，其表达式为：

为进一步描述不可压缩流体流动的运动特性，可对每个流体微团的动量进行分析。将动量项 ρu 代入公式（1），并利用公式（3），可得：

其中 sm 是改变各流体微团速度的动量源项，符号 ⊗ 表示外积运算。在此基础上，黏性可压缩流的纳维-斯托克斯动量方程基本形式进一步将 sm 具体表述为三个独立项：

其中 p 表示压力，g 为重力加速度，µ 是描述流体粘性程度的动态粘性系数。公式（6）表明，流体微团的速度变化率受三个力项的影响：压力项（−∇p）、粘性项（µ∇2u） 以及重力项（ρg）。