P16

SPH-Based Fluids

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Consider a (Lagrangian) particle system: each water molecule is a particle with physical quantities attached, such as position \(\mathbf{x}_i\), velocity \(\mathbf{v}_i\), and mass \(m_i\).

✅ 用粒子来表达流体，物理变量附着在粒子上。先通过粒子系统的方式独立计算每个粒子。粒子转化为三角网格再渲染，或直接渲染带透明贴图的粒子(游戏)。

关键在于怎样构造粒子所受到的力，使粒子的运动效果看上去像水分子的运动。

  • We model fluid dynamics by applying three forces on particle i.
    • Gravity
    • Fluid Pressure
    • Fluid Viscosity

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Gravity Force

  • Gravity Force is:

$$ \mathbf{F} _ \mathbf{i}^ \mathbf{gravity} = m _i \mathbf{g} $$

P19

\(\mathbf{g}\) 可以单指重力，也可以指所有的外力。

Pressure Force

✅ WCSPH：弱可压缩流体

计算密度 → 计算压强 → 计算压力

计算密度

First compute the density of Particle i:

$$ \rho _ i = \sum _ j m _ j W _ {ij} $$

计算压强

$$ P_i=k((\frac{\rho _i}{\rho _\mathrm{constant } } )^7-1) $$

✅ 密度到压强的计算是一个经验公式。直观理解就是：密度大 → 压强大 → 推动周围粒子离开自己 → 保体积效果

  • To compute this pressure gradient, we assume that the pressure is also smoothly represented:

$$ P_i^{smooth}= \sum _ j V_jP_j W_{ij} $$

✅ 假设空间是一个压强场、粒子是空间中的采样。\(P^{smooth}\)是通过周粒子\(P\)的插值得到的采样点压强。

通过 smooth 函数，把离散值变成连续值，以便于微分计算。这是一种常用技巧。

压强转化为力

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  • Pressure force depends on the difference of pressure:

从公式上理解：

$$ \frac{D\boldsymbol{v}}{Dt}=-\frac{1}{\rho}\nabla \mathbf{p}+\boldsymbol{g} $$

公式中的 \(\boldsymbol{g} \) 不在这里考虑，仅考虑 \(\mathbf{p}\) 对 \(\boldsymbol{v}\) 的影响
求 \(\mathbf{p}_i^{smooth}\) 的梯度的过程见补充
代入即可求得粒子的速度变化

$$ \Delta \boldsymbol{v}=\Delta t \cdot \frac{D\boldsymbol{v}}{Dt}=-\frac{1}{\rho}\Delta t \nabla \mathbf{p}_i^{smooth}=\Delta t \frac{\boldsymbol{F}_i^{Pressure}}{m} $$

$$ \boldsymbol{F}_i^{Pressure}=-\boldsymbol{v}_i \nabla \mathbf{p}_i^{smooth} $$

从物理上理解。

压强差产生压力。

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  • Mathematically, the difference of pressure => Gradient of pressure.

$$ \mathbf{F} _i^{pressure}=-V_i\nabla _iP^{smooth} $$

✅ 体积为粒子在空间中占有的体积，体积越大受到的压力越大、\(\nabla\)代表压强的差。

  • So:

$$ \mathbf{F} _ i^{pressure} = - V _ i \sum _ j V _ j P _ j \nabla _ i W _ {ij} $$

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Viscosity Force 粘滞力

粘滞所产生的效果

  • Viscosity effect means: particles should move together in the same velocity.
  • In other words, minimize the difference between the particle velocity and the velocities of its neighbors.

✅ Viscosity (粘滞)类似于 damping (阻尼)，但有些区别，后者的目标是让粒子的运动停下来，前者的目的是让所有粒子的运动整齐划一，即速度差趋于0.
✅ smooth 会产生粘滞的效果。

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计算粘滞力

  • Mathematically, it means:
    $$ \mathbf{F} _i^{viscosity}=-\nu m_i\Delta _i\mathbf{V} ^{smooth} $$

✅ \(\nu\)：粘滞系数， \(\Delta \nu\)：速度的 Laplacian. 注意速度是3D矢量。

  • To compute this Laplacian, we assume that the velocity is also smoothly represented:

$$ \mathbf{V} _i^{smooth}= \sum_jV_j \mathbf{v} _ j W _ {ij} $$

  • So:

$$ \mathbf{F} _i^{viscosity}=-\nu m_i\sum _jV_j\mathbf{v} _j\Delta _iW _{ij} $$

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Algorithm

  • For every particle i
    • Compute its neighborhood set
    • Using the neighborhood, compute:
      • Force = 0
      • Force + = The gravity force
      • Force + = The pressure force
      • Force + = The viscosity force
  • Update \(v_i = v_i + t * \text{ Force } / m_i\);
  • Update \(x_i = x_i + t * v_i\);

这是显式积分的流程，也可以把它们转为隐式积分方式。

补充 1：Spatial Partition加速求最近邻

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$$ \color{Red}{ \text{ What is the bottleneck of the performance here?}} $$
  • Search over every particle pair? O(\(N^2\))
  • 10M particles means: 100 Trillion pairs…

✅ 性能瓶颈在于搜索邻居，因为总粒子数为百万级。

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Solution: Spatial Partition

  • Separate the space into cells
  • Each cell stores the particles in it
  • To find the neighborhood of i, just look at the surrounding cells

其它技巧：位压缩，Moten 编码，Compact hashing, AI 方法

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遗留问题：

  • What if particles are not uniformly distributed?

✅ 例如水花喷溅的效果，通常靠近水面的粒子小一点，更利于表现细节。

  • Solution: Octree, Binary Spatial Partitioning tree…

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补充 2：流体粒子渲染

• Need to reconstruct the water surface from particles!

✅ 点云转成三角面片用于渲染也是一个比较复杂的问题。
✅（1）平滑方法：bias kemal（见GAMES 102）或 vdb
✅（2）把球转为SDF，SDF转为 Mesh (Marching Cubes)

补充 3：计算梯度

这个奇怪的梯度计算公式能让计算结果稳定。

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补充 4：Ongoing Research

  • How to make the simulation more efficient?

  • How to make fluids incompressible?

  • When simulating water, only use water particles, no air particles. So particles are sparse on the water-air boundary. How to avoid artifacts there?

  • Using AI, not physics, to predict particle movement?

PCI-SPH：类似隐式积分，预测 + 校正，得到一个散度小(不可压)的速度场。
PBF：用于实时场景，PBD + SPH

IDYearNameNoteTagsLink
2025Implicit Position-Based Fluids1. 构建隐式积分转优化问题的目标函数
2. 使用GPU亲和的方式解优化问题中的线性系统
3. 近似H保证H的正定性
4. 使流体趋于平静的机制		link

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