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Strain Limiting

原理

Strain limiting aims at using the projection function for correction only.

✅ 投影函数作为模拟过程的后处理，防止模拟后产生大的形变，使模拟结果更稳定。

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例一： Spring Strain Limit

We can set the spring strain, i.e., the stretching ratio σ, to be within a limit.

✅ 这一页以弹簧为例子说明 Strain Limit
✅ Strain：物理上描述形变的量，即本页的$\sigma$

$$\sigma ^\mathrm{{min}}≤\frac{1}{L}||\mathbf{x} _i− \mathbf{x} _j||≤\sigma^\mathrm{{max}}$$

✅ 仅要求弹簧长度满足某不比例，不要求一定到达某个位置。

Constraint

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$$\quad$$

$$\mathbf{x}^{\mathbf{new}}\longleftarrow \mathrm{Projection} (\mathbf{x} )$$

$$\sigma\longleftarrow \frac{1}{L}||\mathbf{x}_i− \mathbf{x}_j||$$

✅ 计算当前拉伸比

$$\sigma _0\longleftarrow \mathrm{min} (\mathrm{max} (\sigma,\sigma^{\mathrm{min} }),\sigma^{\mathrm{max} })$$

✅ 计算期望的拉伸比

$$\mathbf{x} _i^{\mathrm {new} }⟵\mathbf{x} _i−\frac{m_j}{m_i+m_j}(||\mathbf{x} _i− \mathbf{x} _j||−σ_0L)\frac{\mathbf{x} _i− \mathbf{x} _j}{||\mathbf{x} _i− \mathbf{x} _j||}$$

$$\mathbf{x} _j^{\mathrm {new} }⟵\mathbf{x} _j+\frac{m_j}{m_i+m_j}(||\mathbf{x} _i− \mathbf{x} _j||−σ_0L)\frac{\mathbf{x} _i− \mathbf{x} _j}{||\mathbf{x} _i− \mathbf{x} _j||}$$

✅ 用$\sigma _0L$代替原长$L$．

$\mathrm{PBD}: \sigma _0≡1;\quad\quad$

✅ PBD可以看作是Strain Limit的特例。

No limit: $\sigma ^{\mathrm{min} } = 0, σ^{\mathrm{max} } = \infty$

✅ Strain Limit 的应用场景：(1) 模拟布料：“拉伸到一定范围后变得非常 stiff” 的效果 (2) 防止“形变大发生数值不稳定”。

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例二：Triangle Area Limit

We can limit the triangle area as well. To do so, we define a scaling factor.

✅这是另一个例子。希望顶点移动尽量少，因此定义约束：三角形面积变化在一定范围内。

{$\mathbf{x}_i^{\mathrm{new} },\mathbf{x}_i^{\mathrm{new} },\mathbf{x}_k^{\mathrm{new} }$}  = $\mathrm{argmin} \frac{1}{2}${$m_i||\mathbf{x}_i^{\mathrm{new} }−\mathbf{x}_i||^2+m_j||\mathbf{x}_j^{\mathrm{new} }−\mathbf{x}_j||^2+m_j||\mathbf{x}_k^{\mathrm{new} }−\mathbf{x}_k||^2$} 

such that the constraint is satisfied.

✅ strain s为面积的缩放量

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$$\quad$$

$$\mathbf{x} ^{\mathbf{new}} ⟵\mathrm{Projection} (\mathbf{x} )$$

$$\mathbf{A}\longleftarrow \frac{1}{2} ||(\mathbf{x} _j− \mathbf{x} _i)\mathbf{×} (\mathbf{x}_k− \mathbf{x} _i)||$$

✅ 计算当前三角形的面积

$$\mathbf{s} \longleftarrow \sqrt{\mathrm{\mathrm{min}} (\mathrm{\mathrm{max}} (A,A^{\mathrm{min}}),A^{\mathrm{max}})/A}$$

✅ 计算期望的面积缩放比

$$\mathbf{c} \longleftarrow \frac{1}{m_i+m_j+m_k} (m_i\mathbf{x} _i+m_j\mathbf{x} _j+m_k\mathbf{x} _k)$$

✅ C为质心，要求缩放前后质心不变。数学上、质心不变，点的移动最少；物理上，质心变了代表物体运动了，scale 不应该导致物理运动。

$$\mathbf{x} _i^{\mathrm{new}}\longleftarrow \mathbf{c} +s(\mathbf{x} _i−\mathbf{c} )$$

$$\mathbf{x} _j^{\mathrm{new}}\longleftarrow \mathbf{c} +s(\mathbf{x} _j−\mathbf{c} )$$

$$\mathbf{x} _k^{\mathrm{new}}\longleftarrow \mathbf{c} +s(\mathbf{x} _k−\mathbf{c} )$$

✅ 通过对顶点到质心的距离的缩放，得到顶点的新的位置

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Strain Limiting在Simulation中的作用

• Strain limiting is widely used in physics- based simulation, typically for avoiding instability and artifacts due to large deformation.

• Strain limiting is useful for nonlinear effects, in a biphasic way.

✅ 例如布料一般一开始抵抗比较小，拉到一定程度后抵抗迅速变大。对这种非线性的表现，可以把模拟分布两个阶段，前面用普通模拟，后面用strain limiting。

• Strain limiting also helps address the locking issue.

✅两个阶段有不同的算法，针对两个阶段的不同特点，可以分别解决两个阶段的问题。

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