A SPH Model

✅ 搞一个模型，能够用于计算偏微分，把微分向量应用到方程上进行求解。
✅ SP:smooth particle

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A SPH Model

Consider a (Lagrangian) particle system: each water molecule is a particle with physical quantities attached, such as position $\mathbf{x}_i$, velocity $\mathbf{v}_i$, and mass $m_i$.

✅ 用粒子来表达流体，物理变量附着在粒子上，粒子转化为三角网格再渲染，或直接渲染带透明贴图的粒子(游戏)。

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原理

• Suppose each particle j has a physical quantity $A_j$.
• The quantity can be: velocity, pressure, density, temperature….
• How to estimate the quantity at a new location $\mathbf{x}_i$?

✅ 空间中有很多带有物理量的粒子，求任意位置上的物理量。这是插值问题，关键是要插值结果平滑。

模型

A Simple Model

$$\begin{matrix} A_i^{\mathbf{smooth}}=\frac{1}{n}\sum _jA_j & \text{ For } ||\mathbf{x}_i−\mathbf{x}_j||<R \end{matrix}$$

存在的问题

✅ 取平均的方式没有考虑粒子的分布。

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A Better Model

• Let us assume each one represents a volume $V_j$.
• So a better solution is:

$$\begin{matrix} A_i^{\mathbf{smooth} }=\frac{1}{n}\sum_jV_jA_j & \text{ For } ||\mathbf{x} _i−\mathbf{x} _j||<R \end{matrix}$$

✅ 公式假设总球的体积是1，球内的粒子瓜分这些体积。所以$\sum _jV_j=1$

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存在的问题

• One problem of this solution:

$$\begin{matrix} A_i^{\mathbf{smooth} }=\frac{1}{n}\sum_jV_jA_j & \text{ For } ||\mathbf{x} _i−\mathbf{x} _j||<R \end{matrix}$$

• Not smooth! (7 -> 9!)

✅ 微小的移动，圆内多了两个点，导致结果突变。

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Final Solution

• Final solution:

$$\begin{matrix} A_i^{\mathbf{smooth}}=\sum _ j V_jA_jW_{ij} & \text { For } ||\mathbf{x} _ i− \mathbf{x} _j||< R \end{matrix}$$

• $W_{ij}$ is called smoothing kernel.
• When $||\mathbf{x} _ i − \mathbf{x} _ j||$ is large, $W_{ij}$ is small.
• When $||\mathbf{x} _ i−\mathbf{x} _ j||$ is small, $W_{ij}$ is large.

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Particle Volume Estimation

• But how do we get the volume of particle $i$?
  $$V_i=\frac{m_i}{ρ_i}$$

$$ρ_i^ \mathbf{smooth} =\sum _ j V_ j ρ_ j W _ {ij}= \sum _ jm_jW_{ij}$$

✅ 粒子在运动过程中，疏密会有变化，因此体积不是常数，要实时计算。
✅ 公式中的$\rho$不是指水的密度，而是粒子分布的密度。
✅ 把密度当作粒子的物理量。用同样的方法插出某个点的密度。

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Smoothed Interpolation – Final Solution

• So the actual solution is:

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Kernal函数

Kernal函数的作用

• We can easily compute its derivatives:

  • Gradient

  $$\begin{matrix} A_i^ \mathbf{smooth} = \sum _ jV_jA_ jW_ {ij} \quad & ∇A_i ^\mathbf{smooth} = \sum_jV_jA_j∇W_ {ij} \end{matrix}$$

  • Laplacian

  $$\begin{matrix} A_i^ \mathbf{smooth} = \sum _ j V_ j A_ jW_ {ij} \quad & ∇A_i^\mathbf{smooth} = \sum_ jV_ jA_ j∇W_ {ij} \end{matrix}$$

❓ 为什么认为体积是常数？答：假设一个点的运动不影向周围邻居的体积。
✅ 对于当前点来说，周围粒子的物理量是常数，只有$W_{ij}$与当前点有关。
✅ 而$W_{ij}$来自于已知的kernel函数，其derivative也是已知的。

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A Smoothing Kernel Example

$$W_{ij}=\frac{3}{2\pi h^3} \begin{cases} \frac{2}{3}-q^2+\frac{1}{2} q^3 \quad & (0\le q<1) \\ \frac{1}{6}(2-q)^3 \quad& (1\le q<2) \\ 0 \quad & (2\le q) \end{cases}$$

$$q=\frac{||\mathbf{x} _i-\mathbf{x} _j||}{h}$$

$h$ is called smoothing length

✅ smooth Kernal 有很多种，这种最常见。

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Kernel Derivatives

• Gradient at particle i (a vector)

$$\nabla _ i W _ {ij} = \begin{bmatrix} \frac{\partial W _ {ij}}{\partial x _ i} \\ \frac{\partial W _ {ij}}{\partial y _ i} \\ \frac{\partial W _ {ij}}{\partial z _ i} \end{bmatrix} = \frac{\partial W_ {ij}}{\partial q} \nabla _ iq= \frac{\partial W _ {ij}}{\partial q} \frac{\mathbf{x} _ i-\mathbf{x} _ j}{|| \mathbf{x} _ i - \mathbf{x} _ j||h}$$

$$q=\frac{||\mathbf{x} _i-\mathbf{x} _j||}{h}$$

$$W_{ij}=\frac{3}{2\pi h^3} \begin{cases} \frac{2}{3}-q^2+\frac{1}{2} q^3 \quad & (0\le q<1) \\ \frac{1}{6}(2-q)^3 \quad& (1\le q<2) \\ 0 \quad & (2\le q) \end{cases}$$

$$\frac{\partial W_{ij}}{\partial q} =\frac{3}{2\pi h^3} \begin{cases} -2q+\frac{3}{2}q^2 \quad & (0\le q<1) \\ -\frac{1}{2}(2-q)^2 \quad& (1\le q<2) \\ 0 \quad & (2\le q) \end{cases}$$

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Kernal Laplacian

$$\frac{\partial W_{ij}}{\partial q} =\frac{3}{2\pi h^3} \begin{cases} -2q+\frac{3}{2}q^2 \quad & (0\le q<1) \\ -\frac{1}{2}(2-q)^2 \quad& (1\le q<2) \\ 0 \quad & (2\le q) \end{cases}$$

$$\frac{\partial^2 W_{ij}}{\partial q^2} =\frac{3}{2\pi h^3} \begin{cases} -2+3q \quad & (0\le q<1) \\ 2-q \quad& (1\le q<2) \\ 0 \quad & (2\le q) \end{cases}$$

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