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Shape Matching

先让每个粒子独立仿真，也不需要考虑弹簧力。
将每个面片的变形程度构建为能量，通过优化能量的方式使 Mesh 减少形变，所有面片以统一的方式进行优化，因此是一种全局优化方法。

所有方法最后都归结为一个分式：

$$ \psi(x)=k||x-y||_m^2+E(x) $$

关键是如何定义，以及非线性方程如何求解

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量化形变

The basic idea is to define a quadratic energy based on the rotated reference element. To do so, we split transformation into deformation + rotation.

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计算能量

We can then define the quadratic energy as:

$$ E (\mathbf{x} )=\frac{1}{2}||\mathbf{F−R} ||^2 $$

(\(\mathbf{R}\) is the rotation inside of \(\mathbf{F}\). This energy tries to penalize the existence of \(\mathbf{S}\)).

Assuming that \(\mathbf{R}\) is constant, this \(E(\mathbf{x})\) becomes a quadratic function. We can then derive the force and the Hessian.

$$ E(\mathbf{x} ) =\frac{1}{2} ||\begin{bmatrix} \mathbf{x} _1-\mathbf{x} _0 &\mathbf{x} _2-\mathbf{x} _0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \mathbf{r} _1-\mathbf{r} _0 &\mathbf{r} _2-\mathbf{r} _0 \end{bmatrix}^{−1}−\mathbf{R}||^2 $$

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