💡 旋转的表示比较独立，单独放在最后，避免破坏整体的结构性。最后结论是混合式的积分方法。

P27

符号定义

角度

Now we choose quaternion $\mathbf{q}$ to represent theorientation, i.e., the rotation from the reference to the current.

角速度

We use a 3D vector $\mathbf{\omega}$ to denote angular velocity.

$$ \begin{cases} \text{The direction of } \mathbf{\omega} \text{ is the axis.} \\
\text{The magnitude of } \mathbf{\omega} \text{ is the speed.}
\end{cases} $$

力矩 torque

A torque is the rotational equivalent of a force. It describes the rotational tendency caused by a force.

✅ Torque：力矩，造成物体旋转的趋势。类比于Force：力，造成物体运动的趋势。

✅ $\mathbf{Rr} _i$：当前状态下质心到作用点的向量

$\mathbf{τ} _i$ is perpendicular to both vectors: $\mathbf{Rr} _i$ and $\mathbf{f} _i$.

✅ 因此力矩的方向决定了旋转轴的方向，因此由叉差乘得到

$\mathbf{τ} _i$ is porportional to ||$\mathbf{Rr} _i$|| and ||$\mathbf{f} _i$||.

$\mathbf{τ} _i$ is porportional to $\sin \theta$.
($\theta$ is the angle between two vectors.)

✅ 力矩的大小决定旋转的快慢。

$\mathbf{τ} _i\longleftarrow (\mathbf{Rr} _i)\times \mathbf{f} _i$

inertia tensor

Similar to mass, an inertia tensor describes the resistance to rotational tendency caused by torque. But different from mass, it’s not a constant.

✅ inertia 也与自身的状态相关

Which side receives greater resistance?

✅ 两图的力矩大小相同，但产生的旋转不同
inertia 看作是对运动的抵抗，其效果与力矩的方向有关，因此不是常数

It’s a matrix! The mass inverse is the resistance (just like mass).

✅ 用于旋转的质量不再是实数，而是矩阵，称为 Inertia 矩阵，用 $\mathbf{I}$ 来标记 Inertia 矩阵，其中 $\mathbf{I}_{ref}$为参考状态，$\mathbf{I}$ 为当前状态，$\mathbf{I}$ 是 $3\times 3$ 矩阵。

reference state	current state

\(\mathbf{I} _{\mathbf{ref} }=\sum m_i(\mathbf{r} _i^\mathbf{T} \mathbf{r} _i\mathbf{1} −\mathbf{r} _i\mathbf{r} _i^\mathbf{T} )\) \(\mathbf{1}\) is the 3-by-3 identity.	\(\mathbf{I} =\sum m_i(\mathbf{r} _i^\mathbf{T}\mathbf{R} ^\mathbf{T}\mathbf{Rr} _i\mathbf{1} −\mathbf{Rr} _i\mathbf{r} _i^\mathbf{T} \mathbf{R^T} )\) \(\quad=\sum m_i(\mathbf{Rr} _i^\mathbf{T}\mathbf{r} _i\mathbf{1R} ^\mathbf{T} −\mathbf{Rr} _i\mathbf{r} _i^\mathbf{T} \mathbf{R^T} )\) \(\quad=\sum m_i\mathbf{R}(\mathbf{r}_i^\mathbf{T}\mathbf{r}_i\mathbf{1}−\mathbf{r}_i\mathbf{r}_i^\mathbf{T} ) \mathbf{R^T}\) \(\quad=\mathbf{RI _{ref}R^T}\)

reference state

current state

$\mathbf{I} _{\mathbf{ref} }=\sum m_i(\mathbf{r} _i^\mathbf{T} \mathbf{r} _i\mathbf{1} −\mathbf{r} _i\mathbf{r} _i^\mathbf{T} )$
$\mathbf{1}$ is the 3-by-3 identity.

$\mathbf{I} =\sum m_i(\mathbf{r} _i^\mathbf{T}\mathbf{R} ^\mathbf{T}\mathbf{Rr} _i\mathbf{1} −\mathbf{Rr} _i\mathbf{r} _i^\mathbf{T} \mathbf{R^T} )$
$\quad=\sum m_i(\mathbf{Rr} _i^\mathbf{T}\mathbf{r} _i\mathbf{1R} ^\mathbf{T} −\mathbf{Rr} _i\mathbf{r} _i^\mathbf{T} \mathbf{R^T} )$
$\quad=\sum m_i\mathbf{R}(\mathbf{r}_i^\mathbf{T}\mathbf{r}_i\mathbf{1}−\mathbf{r}_i\mathbf{r}_i^\mathbf{T} ) \mathbf{R^T}$
$\quad=\mathbf{RI _{ref}R^T}$

✅ 不需要每次都根据当前状态计算，而是基于一个已经算好的ref状态的 inertia快速得出。

P29

更新法则

	Translational (linear)	Rotational (Angular)
Updafe
states	Velocity $\mathbf{v}$ Position $\mathbf{x}$	Angular velocity $\mathbf{ω} $ Quaternion $\mathbf{q}$
Physical Quantities	Mass $\mathbf{M}$ Force $\mathbf{f}$	Inertia $\mathbf{I} $ Torque $\mathbf{τ} $

✅ 平移： $加速度 = \frac{力}{质量}$ ，旋转： $加速度 =\frac{力矩}{\text{Inertia}}$
✅ $q$是四元数，代表物体的旋转状态
✅ $q_1\times q_2$不是叉乘，而是四元数普通乘法
✅ $\begin{bmatrix} 0 & \frac{\bigtriangleup t}{2} & w^{(1)} \end{bmatrix}$是一个四元数，0为实部，后面为虚部
❗ 算完$q^{[1]}$的之后要对它 Normalize
🔎 由$q^{[0]}$到$q^{[1]}$的更新公式的推导过程见Affer Class Reading（Appendix B）
❓ 四元数相加有什么含义？

P30

Rigid Body Simulation Piplene

In practice, we update the same state variable $\mathbf{s} =${$\mathbf{v,x,\omega ,q}$} over time.

❗ Gravity doesn't cause any torque! lf your simulator does not contain any other force, there is no need to update $\mathbf{\omega}$.

P33

After-Class Reading (Before Collision)

P35

https://graphics.pixar.com/pbm2001

❓ 建议读其中的Rigid Body Dynamics部分

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