积分

For translational motion, the state variablecontains the position \(\mathbf{x}\) and the velocity \(\mathbf{v}\).

$$ \begin{cases} \mathbf{v} (t^{[1]})=\mathbf{v} (t^{[0]})+\mathbf{M} ^{−1}\int_{t^{[0]}}^{t^{[1]}} \mathbf{f} (\mathbf{x} (t), \mathbf{v} (t), t)dt\\ \mathbf{x} (t^{[1]})=\mathbf{x} (t^{[0]})+\int_{t^{[0]}}^{t^{[1]}} \mathbf{v} (t)dt \end{cases} $$

✅ 也可以用\(\mathbf{\dot{x}} \)表示速度\(\mathbf{v} \)
速度是加速度的积分，因此\( \Delta t=\int a=\int \frac{F}{M} =M^{-1}\int F\).
位置是速度的积分
本质上是解积分
💡 积分的过程比较独立，单独放在最后，避免破坏整体的结构性。最后结论是混合式的积分方法。

P17

Types of Forces

✅ 在做模拟时，如果不要求能量守衡，出于问题简化的目的，直接对速度做衰减，代替引入阻力

P18

Rigid Body Simulation Pipeline (Translation Only)

The mass \(M\) and the time step \(\Delta t\) are user-specified variables.

✅ 实际应用中，\(\Delta t\) 要跟帧率匹配
质量 \(M\) 可以是个对角矩阵或实数

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