P30

Constrained Dynamics

要解决的问题

A critical problem exists: what if constraints/forces are very very stiff? Or infinitely stiff?

✅ 此算法用于处理 very very stiff 的场景即约束必须严格满足，而前面算法需要做很多次迭代才能产生这种效果（计算量大）。
✅ 此算法常用于衣服、刚体、人体。比如人体的关节联结，是一种非常stiff的约束。

根据约束建立模型

Compliant constraint

$$\mathbf{ϕ} _e(\mathbf{x} )=||\mathbf{x} _{ei}− \mathbf{x} _{ej}||−L_e$$

$$E(\mathbf{x} )={\textstyle \sum_e}\frac{1}{2} k(||\mathbf{x} _{ei} −\mathbf{x} _{ej}||−L_e)^2=\frac{1}{2} \mathbf{\mathbf{ϕ}^T(x)C} ^{−1}\mathbf{ϕ} (\mathbf{x} )$$

✅ $E(X)=\sum _ {e} \frac{1}{2}k( \phi _ e(x))^2$

$$\mathbf{f} (\mathbf{x} )=−∇E=-\begin{pmatrix} \frac{∂E}{∂\mathbf{ϕ}} & \frac{∂\mathbf{ϕ}}{∂x} \end{pmatrix}^\mathbf{T} =−\mathbf{J^TC} ^{−1}\mathbf{ϕ} =\mathbf{J^Tλ}$$

Let $N$ be the number of vertices and E be the number of constraints,

✅ $E$ 和 $f$ 变成了关于两个变量$(x、\lambda )$的函数。
✅把能量写成约束的形式
$$E(x)=\frac{1}{2}\phi ^T (x)C^{-1}\lambda \\ f(x)=J^T \lambda$$ 根据$E(x)$和$f(x)$做隐式积分

转化为隐式积分问题

P31

By implicit integration, we get:

$$\mathbf{Mv} ^{\mathrm{new} }−∆t\mathbf{J^Tλ} ^{\mathrm{new} }=\mathbf{Mv}$$

✅ 动量守衡公式：$Mv'- Mv = Ft =$冲量
✅ 此处新 $\lambda^{\mathrm{new}}$来计算 F. 说明是 Implicit

Meanwhile, $$\mathbf{Cλ} ^{\mathrm{new} }=−\mathbf{ϕ} ^{\mathrm{new} }≈−\mathbf{ϕ} −\mathbf{J} (\mathbf{x} ^{\mathrm{new} }−\mathbf{x} )≈−\mathbf{ϕ} −∆t\mathbf{Jv} ^{\mathrm{new} }$$

✅ 对$-\phi ^{\mathrm{new}}$ 的泰勒展开
✅$J$是上页中的Jacobian.

$$\begin{bmatrix} \mathbf{M} & −∆t\mathbf{J^T} \\ ∆t\mathbf{J} & \mathbf{C} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \mathbf{v} ^{\mathrm{new} } \\ \mathbf{λ} ^{\mathrm{new} } \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \mathbf{Mv} \\ -\mathbf{ϕ} \end{bmatrix}$$

✅ 最后的矩阵公式由上面两个公式整理合并得到。
$x ^{\mathrm{new}}-x =\bigtriangleup t\cdot v$

解隐式积分

P32
Now we have a system with two sets of variables: the primal variable $\mathbf {x}$ (or $\mathbf {v=x}$ ̇) and the dual variable $\mathbf {λ}$.

✅ 之前的隐式积分只有一个变量，此处的隐式积分有两个变量。需要同时解出两个变量。

• Method 1: We can solve the two variables by a direct solver together, in a primal-dual fashion:

$$\begin{bmatrix} \mathbf{M} & −∆t\mathbf{J^T} \\ ∆t\mathbf{J} & \mathbf{C} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \mathbf{v} ^{\mathrm{new} } \\ \mathbf{λ} ^{\mathrm{new} } \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \mathbf{Mv} \\ -\mathbf{ϕ} \end{bmatrix}$$

✅ 注意：Method 1 中的矩阵有可能不正定、因此很多数学方法用不了。

• Method 2: We can reduce the system by Schur complement and solve $\mathbf {λ}^{\mathrm{new} }$ first.

✅ Method 2 的消元过程不容易构造、尤其是当矩阵比较复杂时。

$$(∆t^2\mathbf{JM} ^{−1}\mathbf{J} ^\mathbf{T} +\mathbf{C} )\mathbf{λ} ^{\mathrm{new} } =−\mathbf{ϕ} −∆t\mathbf{Jv}$$

$$\mathbf{v} ^{\mathrm{new}}\longleftarrow \mathbf{v} +−∆t\mathbf{M} ^{−1}\mathbf{J^Tλ} ^{\mathrm{new}}$$

✅ 用哪种方法取决于应用场景

优点

Infinite stiffness? $\mathbf{C \longrightarrow 0}$.

✅ 此方法将软硬度量解耦出来，并用矩阵C来表示，使得可以方便控制软硬度，例如让$c=0$ 来表示 infinite stiffness.

应用

Articulated Rigid Bodies (ragdoll animation)

P34

Stable Constrained Dynamics

✅ 没有展开讲，见after reading中的论文

From a mass-spring system, we know spring Hessian (tangent stiffness) is:

$$\mathbf{H} (\mathbf{x} )=∑_{e=(i,j)}\begin{bmatrix} \Box & \Box & \Box & \Box \\ \Box & \mathbf{H} _e & -\mathbf{H} _e & \Box \\ \Box & -\mathbf{H} _e &\mathbf{H} _e & \Box \\ \Box & \Box & \Box & \Box \end{bmatrix}$$

According to constrained dynamics:$\mathbf{f} (\mathbf{x} )=\mathbf{J^Tλ}$ and $\mathbf{λ} =−\mathbf{C} ^{−1}\mathbf{ϕ}$, so:

$$\mathbf{J}_e=\frac{∂\phi _e}{∂\mathbf{x} }=\begin{bmatrix} \frac{\mathbf{x} _{ij}^\mathbf{T} }{||\mathbf{x} _{ij}||} & -\frac{\mathbf{x} _{ij}^\mathbf{T} }{||\mathbf{x} _{ij}||} \end{bmatrix}$$

P35

Stable Constrained Dynamics

According Lecture 5, Page 16, implicit integration is:

$$(\frac{1}{∆t^2}\mathbf{M+H} (\mathbf{x} ^{[0]}))∆\mathbf{x} = \frac{1}{∆t^2}\mathbf{M} (∆t\mathbf{v} ^{[0]})+\mathbf{f} (\mathbf{x} ^{[0]})$$

$$\Downarrow$$

$$(\mathbf{M} +∆t^2\mathbf{H} (\mathbf{x} ^{[0]}))\mathbf{v} ^{\mathrm{new} }= \mathbf{Mv} ^{[0]}+∆t\mathbf{f} (\mathbf{x} ^{[0]})$$

Missing geometric stiffness matrix here…

P36

After-Class Reading (optional)

Tournier et al. 2015. Stable Constrained Dynamics. TOG (SIGGRAPH).

✅ Method 2 Gauss 消元，如果把$\lambda$消掉，会得到一个基本上与隐式积分相似的公式，唯一的区别是$\mathbf{H}$上略有不同 —— 隐式积分多了一项。如果把用这一项加回去，会使constrain dynamic 变得稳定。

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