非线性方程求解转化为优化问题

求解的非线性方程如下，其中\({x} ^{[1]}\)是未知量。
$$ \mathbf{x} ^{[1]}=\mathbf{x}^{[0]}+∆t\mathbf{v} ^{[0]}+∆t^2\mathbf{M} ^{−1}\mathbf{f} (\mathbf{x}^{[1]}) $$

P14

$$ \mathbf{||x||_M^2=x^TMx} $$

✅ Note that this is applicable to every system, not just a mass-spring system.

把公式处理一下得，
$$ x^{[0]}+Δtv^{[0]}+Δt^2M^{-1}f(x^{[1]})-x^{[1]}=0 $$ 左右两边同时乘以\(\frac{M}{Δt^2}\)得
$$ \frac{1}{Δt^2} M(x^{[1]}-x^{[0]}-Δtv^{[0]})-f(x^{[1]})=0 $$
这里面唯一的未知量是\(x^{[1]}\)，定义函数 $$ y=\frac{1}{Δt^2} M(x-x^{[0]}-Δtv^{[0]})-f(x) $$
当\(x = x^{[1]}\) 时，\(y = 0\), 即 \(y(x^{[1]}) = 0\)
从另一个角度讲， $$ \begin{eqnarray} x^{[1]} & = \mathrm{argmin}& F(x)\Rightarrow {F}' (x^{[1]}) & = & 0 \end{eqnarray} $$
因此, \({F}' (x) = y. \quad F(x) = \int ydx \)
反之则不一定成立，\({F}' (x) = 0\) 解出的 \(x\) 有可能是极大值点，所以还要看 \({F}' (x)\) 的正负。

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