骨络

骨络结构包含点和线，每个点都可以自由移动和旋转。(Mesh 上的顶点不能旋转。) 如果顶点之间存在边，那么顶点间的相对位置关系不能发生改变。

✅ Skeleton 用于衣服、刚体、人体等对象的仿真代理。比如人体的关节联结，是一种非常stiff的约束。

P30

XPBD

要解决的问题

$PBD$ 的问题在于缺少物理性，硬度不可控，究其原因是，$PBD$ 本质是把无限强的硬约束作为优化目标，在多轮的迭代优化中不断向这个目标靠近，但如果要真正收敛到这个目标需要很多次迭代，实际上会在目标收敛之前结束迭代。表现为 soft 的效果，所以软体的 stiff 程度取于迭代优化的收敛情况，因此不可控。

✅ 此算法是 PD 的扩展。用于处理 very very stiff 的场景，即距离约束必须严格满足。而前面算法需要做很多次迭代才能产生这种效果（计算量大）。

XPBD 试图通过软度系数 C 来控制物体的 stiff / soft 程度，XPBD 通过 C 定义势能的 scale，使得优化目标为动能与势能的 trade off。当优化目标收敛时，达到期望的硬度，但如果在收敛前停止迭代，仍然会表现出比预期要软的效果。

根据约束建立模型

回顾隐式积分的优化目标：

$$ \psi (x) = \frac{1}{2h^2}||x - y||_M^2 + E(x) $$

其中第一项为动能，第二项为势能。

$y$ 为 $x$ 在不考虑内力情况下下一时刻应该到达的位置，当$x=y$ 时动能为0。

根据约束来定义势能 $E(x)$，其中 $\phi (x)$ 为约束，$C$ 为柔度参数。

Compliant constraint

$$ \mathbf{ϕ} _e(\mathbf{x} )=||\mathbf{x} _{ei}− \mathbf{x} _{ej}||−L_e $$

这个 $\phi (x)$ 只是约束的一种定义方式，也可以是其他的定义。

$$ E(\mathbf{x} )={\textstyle \sum_e}\frac{1}{2} k(||\mathbf{x} _{ei} −\mathbf{x} _{ej}||−L_e)^2=\frac{1}{2} \mathbf{\mathbf{ϕ}^T(x)C} ^{−1}\mathbf{ϕ} (\mathbf{x} ) $$

$$ \mathbf{f} (\mathbf{x} )=−∇E=-\begin{pmatrix} \frac{∂E}{∂\mathbf{ϕ}} & \frac{∂\mathbf{ϕ}}{∂x} \end{pmatrix}^\mathbf{T} =−\mathbf{J^TC} ^{−1}\mathbf{ϕ} =\mathbf{J^Tλ} $$

Let $N$ be the number of vertices and E be the number of constraints,


约束	$$ \phi (\mathbf{x} )\in \mathbf{R} ^E $$	✅ $ \phi_e = \begin{bmatrix} \phi _ 0\\ \phi _ 1 \\ \vdots \\ \phi _ E \end{bmatrix}$
Compliant matrix	$$ \mathbf{C} =\begin{bmatrix} 1/k & \Box & \Box\\ \Box & 1/k & \Box \\ \Box & \Box &\ddots \end{bmatrix}\in \mathbf{R} ^{E×E} $$	✅ C称为软度矩阵、 stiffness:挺度，compliant:软度
Jacobian	$\mathbf{J} =\frac{∂\phi}{∂\mathbf{x} } \in \mathbf{R} ^{E×3N}$
Dual variables (Lagrangian multipliers)	$\mathbf{λ} =−\mathbf{C} ^{−1}\phi \in \mathbf{R} ^E$	✅ $\lambda $ 是人为引入的变量，称为拉格朗日算子。

引入变量 $\lambda = -C⁻¹\phi $，代入$E(x)$和$f(x)$，得

$$ E(x)=\frac{1}{2}\phi ^T (x)\lambda \\ f(x)=J^T \lambda
$$

转化为隐式积分问题

P31

By implicit integration, we get:

$$ v^{[1]} = v^{[0]} + \Delta tM^{-1} f^{[1]} $$

隐式积分公式推导见弹簧系统部分，也可以写成：

$$ x^{[1]} = x^{[0]} + y + \Delta t^2 M^{-1} f^{[1]} $$

引出两种不同的推导方法：

用速度公式推导

$$ \mathbf{Mv} ^{\mathrm{new} }−∆t\mathbf{J^Tλ} ^{\mathrm{new} }=\mathbf{Mv} $$

✅ 动量守衡公式：$Mv'- Mv = Ft = $冲量
✅ 此处新 $\lambda^{\mathrm{new}} $来计算 F. 说明是 Implicit

Meanwhile,对$-\phi ^{\mathrm{new}}$ 的泰勒展开

$$ −\mathbf{ϕ} ^{\mathrm{new} }≈−\mathbf{ϕ} −\mathbf{J} (\mathbf{x} ^{\mathrm{new} }−\mathbf{x} )≈−\mathbf{ϕ} −∆t\mathbf{Jv} ^{\mathrm{new} } $$

✅$J$是上页中的Jacobian.

根据定义 $\lambda^{\mathrm{new} } = C^{-1}\phi^{\mathrm{new} }$，得：

$$ \lambda^{\mathrm{new} } = -\phi - \Delta t\mathbf{Jv} ^{\mathrm{new} } $$

构造入方程组，

$$ \begin{bmatrix} \mathbf{M} & −∆t\mathbf{J^T} \\ ∆t\mathbf{J} & \mathbf{C} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \mathbf{v} ^{\mathrm{new} } \\ \mathbf{λ} ^{\mathrm{new} } \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \mathbf{Mv} \\ -\mathbf{ϕ} \end{bmatrix} $$

✅ 最后的矩阵公式由上面两个公式整理合并得到。
✅ $x ^{\mathrm{new}}-x =\Delta t\cdot v $

用位置公式推导：

$$ M \cdot \Delta x + \Delta t^2 J^{\text{new}} \lambda^{\text{new}} = 0 $$

将 $ J^{\text{new}} $ 近似为 $ J $，

构造方程组，得：

$$ \begin{bmatrix} M & \Delta t^2 \cdot J^T \\ J & C \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \Delta x \\ \Delta \lambda \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 0 \\ -\phi \end{bmatrix} $$

解隐式积分

P32
Now we have a system with two sets of variables: the primal variable $\mathbf {x}$ (or $\mathbf {v=x}$ ̇) and the dual variable $\mathbf {λ}$.

✅ 之前的隐式积分只有一个变量，此处的隐式积分有两个变量。需要同时解出两个变量。

Method 1: We can solve the two variables by a direct solver together, in a primal-dual fashion:

$$ \begin{bmatrix} \mathbf{M} & −∆t\mathbf{J^T} \\ ∆t\mathbf{J} & \mathbf{C} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \mathbf{v} ^{\mathrm{new} } \\ \mathbf{λ} ^{\mathrm{new} } \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \mathbf{Mv} \\ -\mathbf{ϕ} \end{bmatrix} $$

✅ 注意：Method 1 中的矩阵有可能不正定、因此很多数学方法用不了。

Method 2: We can reduce the system by Schur complement and solve $\mathbf {λ}^{\mathrm{new} }$ first.

✅ Method 2 的消元过程不容易构造、尤其是当矩阵比较复杂时。

$$ (∆t^2\mathbf{JM} ^{−1}\mathbf{J} ^\mathbf{T} +\mathbf{C} )\mathbf{λ} ^{\mathrm{new} } =−\mathbf{ϕ} −∆t\mathbf{Jv} $$

$$ \mathbf{v} ^{\mathrm{new}}\longleftarrow \mathbf{v} +−∆t\mathbf{M} ^{−1}\mathbf{J^Tλ} ^{\mathrm{new}} $$

✅ 用哪种方法取决于应用场景

优点

✅ 此方法将软硬度量解耦出来，并用矩阵C来表示，使得可以方便控制软硬度，例如让$c=0$ 来表示 infinite stiffness.

当$c=0$ 时，方法退化为PBD。

应用

Articulated Rigid Bodies (ragdoll animation)

本文出自CaterpillarStudyGroup，转载请注明出处。

https://caterpillarstudygroup.github.io/GAMES103_mdbook/