Implicit Imcompressible SPH

flowchart LR
    A[当前状态] -->|预测步| B[中间状态]
    B --> E[未知量：位置修正] 
    B --> F[预测位置] 
    B --> G[预测密度]
    B --> H[期望密度]
    E & F --> I[基于动量的公式①]
    G & H --> J[基于密度约束势能的公式②]
    I & J --> K[构建方程组]--> L[解出$$\Delta x$$]--> M[下一时刻状态] --> A[当前状态]
    

优化目标：
不可压缩条件下的动量守恒

$$ E = \text{动能} + \lambda \cdot \text{约束项} $$

(1)

$$ \frac{\partial E}{\partial x} = \frac{\partial \text{动能}}{\partial x} + \lambda \cdot \frac{\partial \text{约束项}}{\partial x} = 0 $$

(2)
$$ \frac{\partial E}{\partial \lambda } = \text{约束项} = 0 $$

$$ \frac{\partial \text{动能}}{\partial x} = \int \rho u \frac{\partial u}{\partial t} dV 动能= \frac{1}{2} \int \rho u^2 dV (3) $$

$$ \frac{\partial \text{约束项}}{\partial x} = \nabla \cdot \text{约束项} = \nabla \cdot u (4) $$

(3) 化简得到NS方程的变分形式，即

$$ \rho \frac{D\boldsymbol{u}}{Dx} = -\nabla p - \rho (\boldsymbol{u} \cdot \nabla)\boldsymbol{u} \quad (5) $$

将公式(4)(5)离散化，得到方程：
方程组中有两个未知量：\(\lambda, \boldsymbol{\nabla x}\)
求解这个线性方程组 (不是泊松方程)

(4) 是 ISPH 的约束项的定义
而IISPH的约束项的定义应该是：

$$ \rho^{n+1} = \rho^0 $$

IISPH 避开解泊松方程，但又使用了隐式积分和密度不变约束，在稳定性、精度、效率方面达到平衡。

三、IISPH 补充

• 隐式离散格式，无需求解泊松方程，效率更高
• 推导基于可压缩连续性方程，而非不可压缩泊松方程

本文出自CaterpillarStudyGroup，转载请注明出处。

https://caterpillarstudygroup.github.io/GAMES103_mdbook/