逆变换(Inverse transform)

💡 当一个变换是通过\(M\)得到的，那么可以通过\(M\)的逆\(M^{-1}\)来恢复变换。

旋转的逆变换

再次来看矩阵旋转 \(X'=R_{\theta}X\) :

我们将 \(X\) 旋转 \(\theta\) 度， \(R_{\theta}\) 为：

\[ R_{\theta}=\left( \begin{matrix} \cos \theta& -\sin \theta\\ \sin \theta& \cos \theta\\ \end{matrix} \right) \]

如果要逆转回来，恢复原来的矩阵，需要旋转 \(-\theta\) 度，根据上述旋转的推导，可以得到：

\[ R_{-\theta}=\left( \begin{matrix} \cos \theta& \sin \theta\\ -\sin \theta& \cos \theta\\ \end{matrix} \right) \]

而 \(R_{-\theta}\) 恰好是 \(R_{\theta}\) 的转置矩阵 \(R_{\theta}^{T}\)， 即：

\[ R_{-\theta}=R_{\theta}^{T} \]

由 “当一个变换是通过\(M\)得到的，那么可以通过\(M\)的逆\(M^{-1}\)来恢复变换” 可知，\(R_{\theta}^{-1}\) 与刚刚旋转 \(-\theta\) 推导得到的 \(R_{\theta}\) 相等，即：

\[ R_{\theta}^{-1}=R_{-\theta} \]

于是有：

\[ R_{-\theta}=R_{\theta}^{-1}=R_{\theta}^{T} \]

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