概率论基础 [1:05:45]
省略，见机器学习数学基础
PDF：概率密度函数
✅ 前面是对问题的建模，现在开始是对问题的求解。
解渲染方程有两个难点：（1）复杂函数的定积分（2）递归问题。使用Monte Carlo解决1，使用Russian轮盘赌解决2. 后面的改进方法解决特殊情况下普通的Monte Carlo不适用的问题。
复习渲染方程
复习渲染方程，回顾求积分的业务背景
$$ L_o(p, w_o) = L_e(p, w_o) + \int_{\Omega^+}L_i(p, w_i)f_r(p, w_i, w_o)(n\cdot w_i)dw_i $$
其中：
第一项：自己发的光
Li：接收到的光
fr：反射参数，与材料有关
n*wi：夹角
dwi：积累所有的方向
蒙特卡罗积分 Monto Carlo Integration
目标：求任意函数的定积分\(\int_a^bf(x)dx\)
函数f(x)的在[a, b]区间内的定积分，其物理含义是图中阴影部分的面积。
但是f(x)比较复杂，难以从公式推导上去求解这个问题。
黎曼积分 [11:10]
没听懂，大概是用某种方法简单地把阴影近似成一个或一些长方形，把长方形的面积当作是阴影的面积，因此求得的是近似值。
蒙特卡罗积分
原理
用另一种方法来估计阴影部分的面积。所估计出的面积也是近似值。
方法
- 在积分域内不断地采样，采样点为xi
- 采样点对应的value是f(xi)
- 多次采样，并对采样结果的value取平均
- 把阴影近似成一个长方形，长方形的宽为区域范围(b-a)，高为第3步的平均值
则：
$$
\int_a^bf(x)dx \approx E(f(x))(b-a)
$$
当采样次数越来越多，f(xi)的平均值逐渐接近f(x)的期望。也因此长方形的面积也会逐渐接近阴影面积的真实值。
进一步理解
前面所说在积分域内随机采样，通常会理解为是均匀采样。实际上，用任意的采样函数做随机采样都是可行的。
例如使用概率密度函数：
$$ X_i \sim p(x) $$
则：
$$ \int_a^bf(x)dx = \frac{1}{N}\sum\frac{f(X_i)}{p(X_i)} $$
特点
- 只需要能对[a b]以一定方式采样，就可以求出定积分。对f(x)和p(x)都没有特殊的要求。
- 采样次数越多，结果越准确。
- 积分域和采样域必须相同。
✅ p(x)至少要是一个pdf，且p(x)与f(x)的作用域相同。虽然对任意的p(x)，能得到正确的期望，但方差不同。p(x)与f(x)的形状越接近，方差越小。
本文出自CaterpillarStudyGroup，转载请注明出处。
https://caterpillarstudygroup.github.io/GAMES101_mdbook/