❓ 问：为什么有第二个公式？如果是问题一，$\dot x^t$已知。如果是问题二，$\dot x^t$跟$x^t$有关，应该用不到$\ddot x^t$。而且$\ddot x^t$未知，用到了也没法算
答：因为问题描述那里说的不准确。已知的是点在某个时刻/位置上受到的力。力->加速度->速度->位置。

特点：

简单，直观迭代。
误差：用不同大小的步长$\Delta t$会得到不同的结果。步长越小越精确。
[1：18：54] 不稳定，且不稳定性与步长无关

👆 不管取多大的步长，最后一定会离开这个螺旋形的速度场。

✅ 误差不是严重的问题，因为可以通过减小步长来降低误差。但不稳定性是严重的问题，因为不管取什么步长，最后结果一定会离真实情况越来越远。
✅ 误差是一阶，步长再小也是一阶。
❓ 为什么有些情况下一定会不稳定，不稳定的本质原因是什么？

用数值方法解微分方程的共性问题：

误差 VS 精度
不稳定， divergence

❓ 所以不稳定的来源是数值方法而不是微分方程？

💡 我的思考：
有点像花书里的"病态问题'。输入的微小改变导到输出的巨大变化。
也可以理解为函数在不同方向上的敏感度差别很大.

后面介绍的这些方法都是在对抗前面提到的不稳定性。

中点法 Midpoint Method

当前点为$x(t)$，用欧拉方法计算下一个时间步的位置，称为a点

$$ x_a = x(t+\Delta t) = x(t) + \Delta t\cdot \dot x(t) $$

取$x(t)$与a的中点，称为b点或mid点

$$ x_{mid} = \frac{x(t) + x(t+\Delta t)}{2} \\ = x(t) + \frac{\Delta t}{2}\cdot \dot x(t) $$

取mid点位置的速度作为x(t)点的速度

$$ \dot x'(t) = \dot x_{mid}(t) $$

用$\dot x'(t)$再算一次欧拉，得到c点

$$ x_c = x(t+\Delta t) = x(t) + \Delta t\cdot \dot x'(t) $$

直观上看，很奇怪中点法更准确。展开后发现，中点法比原方法多了二次项函

$$ x(t+\Delta t) = x(t) + \Delta t\cdot \dot x(t) + \frac{(\Delta t)^2}{2}\ddot x(t) $$

Adaptive Step Size 自适应步长

定义初始的$\Delta t$为$\Delta_0$
用欧拉方法计算$x^{t+\Delta_0}$。即用$\Delta_0$算一遍欧拉方法

$$ X_T = x(t) + \Delta_0\cdot \dot x(t) $$ 3. 用欧拉方计算$x^{t+2*\frac{1}{2}\Delta_0}$。即用$2*\frac{1}{2}\Delta_0$算两遍欧拉方法

$$ X_{mid} = x(t) + \frac{\Delta_0}{2} \cdot \dot x(t) \\ X_{T/2} = x_{mid} + \frac{\Delta_0}{2} \cdot \dot x_{mid} $$

比较$X_T$和$X_{T/2}$，如果两者差别比较大，取后者，且将$delta_0$更新为$\frac{1}{2}delta_0$。

Implicit （隐式的） Euler Method

原问题：已知$x^t$和$\dot x^t$，求 $x^{t+\Delta t}$和$dot x^{t+\Delta t}$

$$ x^{t+\Delta t} = x^t + \Delta t \dot x^t \\
\dot x^{t+\Delta t} = \dot x^t + \Delta t \ddot x^t $$

转化为新问题：

$$ x^{t+\Delta t} = x^t + \Delta t \dot x^{t+\Delta t} \\
\dot x^{t+\Delta t} = \dot x^t + \Delta t \ddot x^{t+\Delta t} $$

部分已知，部分未知，变成了一个优化问题。

我的思考：
显式和隐式，有种FK和IK的感觉。利用被依赖项计算依赖项，用数学公式。利用依赖项计算被依赖项，用优化问题近似。

优点：稳定。

❓ 隐式也是一阶，为什么比显式的稳定？

衡量各种欧拉方法的稳定性

指标：

局部截断误差：每一步会产生多少误差
全局积累误差

重要的不是指标的数值，而是这些指标与$\Delta t$的关系。

例如 Implicit Euler Method方法的稳定性为1阶。因为的它的局部截断误差是$O(h^2)$，全局累积误差是O(h)。

O(h)的意思是，当步长减小到一半，那它的误差的期望也会减小到一半。
$O(h^2)$的意思是，当步长减小到一半，那它的误差的期望也会减小到1/4。

阶数越高越好。

Runge-kutta 方法

这是一类方法。
欧拉方法用于解线性ODE（常微分方程），而此类方法能够解非线性的ODE。

❓ 线性ODE和非线性的ODE什么区别？

其中Rk 4方法应用最广泛. 4代表4阶

已知：

$$ \frac{dy}{dt} = f(t, y) \\ y(t_0) = y_0 $$

RK 4解法:

$$ y_{n+1} = y_n + \frac{1}{6}h(k_1 + 2k_2 + 2k_3 + k_4) \\ t_{n+1} = t_n + h $$

说明：这个公式里的h就是$\Delta t$
()中的四个加法项是基于中点法的中间结果，系数是精心设计的

🔎 数值分析课程会对这个算法有详细的解释

如果说中点法是泰勒展开的即视感，那么这里的公式是对泰勒展开更精确的模拟

问：为什么说RK系列擅长非线性呢？都是以欧拉方法为基础，在哪里引入的非线性的设计？
答：1阶是处理线性问题，高于1阶才能处理非线性。理解类似泰勒公式的近似截断。

Position Based / Verlet 积分

原理：只是通过调整位置使得能够满足某些限制，简化弹簧的物理推导过程
优点：快、简单
缺点：不是基于真实的物理过程可能会有错误

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