滤波 VS 卷积 VS 平均

卷积 VS 平均

结论1： 卷积可以看作是个局部区域的加权平均，卷积kernel即局部加权

🔎 卷积定理：
时域卷积 = 频域乘积
时域乘积 = 频域卷积

图像的卷积操作是从信号的卷积运算中借鉴过来的概念。虽然不完全相同，其本质是一样的。
图像的卷积操作可以看作中对图像的时域信息做卷积运算，时域信息的卷积运算又可以转化为频域上的乘积运算。前面所讲的滤波操作实际上就是用频域上的乘积运算来实现的。因此图像的时域卷积操作与频域滤波操作本质上是一致的。

例子一：以低通滤波为例

例子二：

❓ 这个例子想说明什么？

结论2：时域卷积 = 频域滤波，卷积kernel = 频域filter

时域卷积 = 频域滤波 = 局部加权平均

卷积kernel = 频域filter = 局部加权

解释：

a：时域信号

b：a对应的频域信号

c：对a进行采样的周期采样函数

d：采样函数的频域表示

e：对a进行采样的结果，即a与c乘积的结果

f：采样结果的频域表示。由于时域乘积=频域卷积，这也是b与d卷积的结果

采样是通过时域上的乘积操作实现的。

时域乘积 = 频域卷积

$f_1\left( x \right) \times f_2\left( x \right) \Longleftrightarrow F_1\left( \omega \right) \otimes F_2\left( \omega \right)$

💡 $f_1\left( x \right)$ 是信号（a）， $f_2\left( x \right)$ 是采样信号（c）， $F_1\left( \omega \right)$ 是a的频谱（b） $F_2\left( \omega \right)$ 是采样信号的频谱

结论：采样就是把原信号的频谱以特定周期呈现。

采样周期长 $\Longrightarrow$

$\Longrightarrow$ $F_2\left( \omega \right)$ 的频谱间隔小

$\Longrightarrow$ (b)以更密的形式重复

$\Longrightarrow$ (f)的频谱出现混叠[55:59]

$\Longrightarrow$ 时域上表现为走样

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