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物理仿真：Physical Simulation 通过推导或实现物理公式，来计算出物体的形状和位置的变化。

质点弹簧系统 Mass Spring System

Mass：质点， Sping：弹簧

MSS可以用于模拟绳子、头发、布料。

A simple Spring

$$f_{a\rightarrow b} = k_s(b - a)$$

$f_{a\rightarrow b}$代表弹簧应用在a上，使得a受到的往 b 方向去的力。
假设rest length = 0，a和b之间只要有距离就会有力。
$k_s$为弹簧系数。

胡克定律：

$$f_{b\rightarrow a} = - f_{a\rightarrow b}$$

Non-zero Length Spring

$$f_{a\rightarrow b} = k_s \frac{b-a}{||b-a||}(||b-a||-l)$$

说明：
$\frac{b-a}{||b-a||}$：归一化之后的受力方向。
$||b-a||-l$：弹簧受力的大小，与长度有关。
$l$：rest length，弹簧长度为$l$时不受力，与方向无关

公式中没有提到摩擦力。没有摩擦力的弹簧会永远震荡下去。

有摩擦力的弹簧

✅ 符号：
$x$：位置
$\dot x$：速度
$\ddot x$：加速度

简单的摩擦力定义

摩擦力的大小与方向都与弹簧的速度相反。

$$f_b = -k_d \dot b$$

💡 摩擦力是由于物理微表面的不平整引起的，但这样很难模拟。是否可以参考微表面模型的统计方法来建模？

这种方式只能描述来自外部的摩擦力，不能描述来自弹簧内部的损耗。

更合理的摩擦力定义

$$f_b = -k_d (\frac{b-a}{||b-a||}\cdot(\dot b - \dot a)) \frac{b-a}{||b-a||}$$

说明：
$fb$：摩擦力。可将弹簧恢复到正常长度。
第一项$k_d$：弹性系数
第二项$\frac{b-a}{||b-a||}\cdot(\dot b - \dot a)$：在弹簧力的方向上的速度分量的大小。与a和b的相对速度有关。在特定方向上的相对速度的大小，向量点乘，得到的是一个标量。
第三项$\frac{b-a}{||b-a||}$：力的方向与b和a的相对位置，并做了归一化。

❓ 为什么是b相对a的速度而不是相对运动表面的速度？

摩擦力与弹簧本身长度没有关系。

多个弹簧的组合

Sheets 用于布料

增加用于抵抗切变的力：

局限性：各项异性，且不能对抗弯折

增加用于对抗弯折的力：

💡 我的想法：可以增加质点对抗旋转的力

有限元方法 Finite Element Method

用于模拟汽车碰撞，考虑碰撞体内力的传导。

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