View Transformation

假设此时：

• 已经做完model transformation，即物体已经摆好。
• 相机的位置已先好，即相机和物体的相对关系是确定的。

现在要做的是：

• 通过旋转、平移缩放等操作的组合，调整相机使其处于指定状态，为了便于后面的计算。
• 同时调整物体，保持相机和物体的相对关系不变。

定义camera的view

我们期望一个摄像机（view）能够有如上参数，这样方便计算，但是真实的camera view不会和我们期望的相同，所以我们需要对camera的上述三个向量做转换，使得camera的view参数达到预期。

view的变换

目的：通过旋转、平移缩放等操作的组合，调整相机使其处于指定状态。

• 平移：e平移到origin
• 旋转：g->-Z, t->Y, g\(\times\)t->X
• 缩放：此处不涉及缩放

平移

平移 \(\vec{e}\) 到原点：

需要计算：原点 = \(T_{view} \cdot \vec{e}\)

用齐次坐标表达：

\[ \left[ \begin{array}{c} 0\\ 0\\ 0\\ 1\\ \end{array} \right] =\left[ \begin{matrix} 1& 0& 0& ?\\ 0& 1& 0& ?\\ 0& 0& 1& ?\\ 0& 0& 0& 1\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{array}{c} x_e\\ y_e\\ z_e\\ 1\\ \end{array} \right] \]

解得：

\[ T_{view}=\left[ \begin{matrix} 1& 0& 0& -x_e\\ 0& 1& 0& -y_e\\ 0& 0& 1& -z_e\\ 0& 0& 0& 1\\ \end{matrix} \right] \]

旋转

将 \(\hat{g}\) 和 \(\hat{t}\) 旋转到-Z轴和Y轴，直接求出旋转矩阵 \(R\) 并不容易，但是由-Z轴和Y轴旋转到 \(\hat{g}\) 和 \(\hat{t}\) 就比较简单了，当我们得到 \(R^{-1}\) 后，进行逆运算，就能得到 \(R\)了，\(R=(R^{-1})^{T}\)。

\[ R_{view}^{-1}=\left[ \begin{matrix} x_{\hat{g}\times \hat{t}}& x_t& x_{-g}& 0\\ y_{\hat{g}\times \hat{t}}& y_t& y_{-g}& 0\\ z_{\hat{g}\times \hat{t}}& z_t& z_{-g}& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ \end{matrix} \right] \]

\[ R_{view}^{}=\left[ \begin{matrix} x_{\hat{g}\times \hat{t}}& y_{\hat{g}\times \hat{t}}& z_{\hat{g}\times \hat{t}}& 0\\ x_t& y_t& y_{-g}& 0\\ x_{-g}& y_{-g}& z_{-g}& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ \end{matrix} \right] \]

旋转 + 平移

通过对camera进行旋转和平移，使camera满足指定view旋转与平移结合的方式有两种：

1. 先旋转后平移
2. 先平移后旋转

根据常识可知，应该先平移再旋转。

因此有变换矩阵：

\[ M_{view} = R_{view} \cdot T_{view} \]

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