Bezier曲线（显示表达）

定义

[13：24] 用一系列控制点定义曲线

例如定义这样一组控制点：

要求所生成的曲线满足这样的性质：

• 起始点同p0位置
• 起点处的切线方向同$\vec{p_0p_1}$
• 终点同为p3位置
• 终点处的切线方向同$\vec{p_2p_3}$

de Casteliau算法

根据给定点序列画Bezier曲线

给定3个点，画Bezier曲线

把起点看作是t=0时刻，终点看作是t=1时刻，画Bezier曲线，相当于求t=[0,1]区间时pt所在的位置。把范围所有时刻的pt连起来就是Bezier曲线。

1. 算出b0b1中的t位置的点为$b^1_0$
2. 算出b1b2中的t位置的点为$b^1_1$
3. ab连成一条线，算是ab中的t位置的点为$b^2_0$
4. $b^2_0$是 Pt 的位置，

给定4个点，画Bezier曲线

[23:24]

Bezier曲线的代数表示

推导过程省略，最后的结论是：

$$b^n(t) = b_0^n(t) = \sum^n_{j=0} b_j B^n_j(t)$$

• $b^n(t)$ 表示最终结果，在Bezier曲线上t时刻的点的位置。
• $b_0^n(t)$的上标n表示这个点在第n层线段上的点。初始控制点组成的线段为第0层。第n层为最后一层。下标0代表这一层的第0个线段。由于第n层只有一个线段，因此下标只能是0。$b_0^n(t)$是第n层的线段上的t时刻的点，其实就是对应最终结果了。
• $b_j$ 是初始控制点，也可以表示为$b_0^n(0)$及$b_0^n(1)$，其实是第0层的上一层。
• 从公式可以看出，$b^n(t)$ 是一组控制点的线性组合，组合的系数是B，即与t有关的多项式

✅ 以上公式对3D控制点同样适用

Berstein多项式

$$B^n_j(t) = \begin{pmatrix}n \ j \end{pmatrix} t^j(1-t)^{n-j}$$

性质

1. 在给4个控制点的情况下，b(0)的切线方向为$3(b_1 - b_0)$，b(1)的切线方向为$3(b_3 - b_2)$。

❓ 问：为什么会有系数3？既然是方向，$3(b_1 - b_0)$和$(b_1 - b_0)$都是同一个方向。
答：（来自弹幕）切线也是有值的，值越大原来曲线变得越快。

2. 用控制点画出曲线，再把曲线做仿射变换 = 对控制点做仿射变换，用变换后的点画曲线

3. 画出的曲线，一定在控制点形成的凸包内。

Piece-wise Bezier曲线

• Why

[38:23] 当控制点比较多时，Bezier曲线不利于控制

• How

把多个点分段，每4个点画一条曲线，例如photoshop中的钢笔功能。

• What

光滑的Piece-wise Bezier曲线

C0连续：数值上连续

C1连续：切线连续（方向和大小都要一致），即光滑

C2连续：曲率连续

要使分段的Bezier曲线光滑（C1连续），需要让上一段的终点和下一段的起点切线一致。这可以通过控制点的位置来实现。

Splint 样条

定义： 一条曲线，由一系列控制点来控制，且满足一定的连续性

B-spines

B: basis，基函数，即与以一定方式将基函数组合，得到一个复杂函数

局部性：移动一个控制点，只在一定范围内影响这个曲线

（这个内容比较复杂，本课不展开了）

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