欠驱动系统问题（Underactuated System）

✅ 本章定位：理解人形角色为什么是欠驱动系统，以及 PD 控制如何处理这个问题。

一、什么是欠驱动系统

定义
Fully-Actuated（完全驱动）执行器数量 \(\geq\) 自由度数量
Underactuated（欠驱动）执行器数量 \(<\) 自由度数量

数学表述：

$$ f, \tau \text{ 的自由度} < V \text{ 的自由度} $$

其中：

  • \(f, \tau\)：可主动控制的力/力矩
  • \(V\)：角色状态的自由度

二、人形角色为什么是欠驱动系统

自由度分析

对于一个人形角色：

自由度类型数量是否可直接控制
根节点位置（Hips）3 平移 + 3 旋转 = 6❌ 不可直接控制
关节旋转约 30+✅ 可通过 \(\tau\) 控制

关键问题

无法直接控制质心位置：

     关节力矩 τ
        ↓
    只能控制关节旋转
        ↓
    无法直接控制 Hips 位置
        ↓
    需要借助外力（地面反作用力）

三、欠驱动带来的控制挑战

问题 1：无法直接控制质心

场景：想让角色向前走

❌ 错误思路：
   直接控制 Hips 向前移动 → 做不到！

✅ 正确思路：
   1. 用关节力矩 \\(\tau\\) 驱动腿部关节
   2. 脚对地面施加力
   3. 地面反作用力推动质心向前

问题 2：PD 控制的局限性

PD 控制公式：

$$ \tau = k_p (\theta_{\text{des}} - \theta_{\text{curr}}) + k_d (\dot{\theta}{\text{des}} - \dot{\theta}{\text{curr}}) $$

局限性：

  • PD 控制只能控制关节角度
  • 无法直接控制质心位置
  • 质心运动是关节运动的间接结果

四、与完全驱动系统的对比

完全驱动系统（如机械臂）

     基座固定
        ↓
   所有关节都可控
        ↓
   可直接控制末端执行器位置
特性机械臂（完全驱动）人形角色（欠驱动）
基座固定自由浮动
可控自由度所有关节仅关节旋转
质心控制间接间接（需外力）

欠驱动 vs. 完全驱动
If #actuators \(\geq\) #dofs, the system is fully-actuatedIf #actuators \(<\) #dofs, the system is underactuated
For any \([x,v,\dot{v}]\) , there exists an \(f\) that produces the motionFor many \([x,v,\dot{v}]\) , there is no such \(f\) that produces the motion
✅ 可以精确控制机械臂到达目标位置。✅ 不借助外力情况，人无法控制 Hips 的位置。

✅ ＃actuators：\(f\) 和 \(\tau\) 的自由度。 ✅ #dofs：角色状态的自由度。

五、解决方案

方案 1：净外力（Root Force/Torque）

核心思想：在根节点（Hips）上施加虚拟的力和力矩。

$$ \tau_{\text{root}} = k_p (x_{\text{des}} - x_{\text{curr}}) + k_d (\dot{x}{\text{des}} - \dot{x}{\text{curr}}) $$

说明：

  • 虚拟力，不真实存在
  • 用于计算期望的地面反作用力
  • 在优化框架中常用

方案 2：动量控制（Momentum Control）

核心思想：通过控制动量来间接控制质心。

$$ \frac{d}{dt}(m \dot{x}{\text{com}}) = \sum f{\text{ext}} $$

说明：

  • 质心动量变化率 = 外力之和
  • 通过控制地面反作用力来控制质心

方案 3：分层控制（Hierarchical Control）

核心思想：高层规划质心轨迹，低层用 PD 控制关节。

高层控制器
    输入：任务目标
    输出：质心轨迹、步法计划
    ↓
低层控制器（PD）
    输入：质心轨迹、当前状态
    输出：关节力矩 \\(\tau\\)

六、实际应用中的处理

DeepLoco 的分层架构

flowchart TB
    Terrain["32×32 地形图"] --> HLC["高层控制器 HLC<br/>2Hz 规划步法"]
    HLC -->|"p̂₀, p̂₁, θ̂_root"| LLC["低层控制器 LLC<br/>30Hz 执行动作"]
    LLC --> PD["PD 控制器"]
    PD --> Sim["物理仿真"]
控制器频率处理的问题
HLC2Hz规划步法（解决欠驱动问题）
LLC30Hz关节 PD 控制

DeepMimic 的相位条件化

$$ \phi_t = (t \mod T_{\text{cycle}}) / T_{\text{cycle}} $$

核心思想：用相位变量隐式编码质心运动规律。

七、欠驱动系统的控制难点总结

难点原因后果
质心不可控无直接执行器需要借助外力
平衡问题支撑面有限容易摔倒
接触切换步态变化动力学突变
冗余自由度多关节协同控制复杂度高

八、与稳态误差问题的关系

欠驱动系统问题和稳态误差问题是 PD 控制在角色动画中的两大核心挑战：

问题本质解决方案
欠驱动系统无法直接控制所有自由度净外力、动量控制、分层控制
稳态误差需要误差才能产生力矩增大 \(k_p\)、前馈补偿

关系：

  • 欠驱动问题是结构性问题（系统本身特性）
  • 稳态误差问题是控制器设计问题（PD 控制局限）

九、关键要点总结

  1. 人形角色是欠驱动系统：无法直接控制质心位置
  2. PD 控制只能控制关节：质心运动是间接结果
  3. 需要借助外力：地面反作用力是控制质心的关键
  4. 分层控制是主流方案：高层规划质心，低层控制关节
  5. 与稳态误差问题并列：是 PD 控制在角色控制中的两大挑战

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