关节约束

💡 前置知识：关于角色的分段刚体表示，见 RigidBodyRepresentation.md

关节类型与约束方程

Ball Joint（球铰）

✅ Ball Joint 只约束位置，允许三个方向的自由旋转。

约束方程

位置级约束： $$ x_1 + R_1 r_1 = x_2 + R_2 r_2 $$

速度级约束（对时间求导）： $$ v_1 + \omega_1 \times r_1 = v_2 + \omega_2 \times r_2 $$

矩阵形式： $$ J = \begin{bmatrix} I_3 & -[r_1]\times & -I_3 & [r_2]\times \end{bmatrix} $$

$$ \begin{bmatrix} I_3 & -[r_1]\times & -I_3 & [r_2]\times \end{bmatrix} \begin{bmatrix} v_1 \\ \omega_1 \\ v_2 \\ \omega_2 \end{bmatrix} = 0 $$

简化为： $$ Jv = 0 $$

其中 \(J\) 是 \(3 \times 12\) 矩阵。

Hinge Joint（铰链）

✅ Hinge Joint 约束位置 + 2 个旋转自由度，只允许绕铰链轴旋转。

约束方程

位置级约束（同 Ball Joint）： $$ x_1 + R_1 r_1 = x_2 + R_2 r_2 $$

角速度约束（额外约束）： $$ \omega_1 \cdot a_1 = \omega_2 \cdot a_2 $$

其中 \(a_1, a_2\) 是两个刚体上的铰链轴方向向量。

矩阵形式： $$ Jv = \begin{bmatrix} J_{\text{pos}} \\ J_{\text{ang}} \end{bmatrix} v = 0 $$

其中：

• \(J_{\text{pos}}\) 是 \(3 \times 12\) 的位置约束矩阵（同 Ball Joint）： $$ J_{\text{pos}} = \begin{bmatrix} I_3 & -[r_1]\times & -I_3 & [r_2]\times \end{bmatrix} $$
• \(J_{\text{ang}}\) 是 \(2 \times 12\) 的角速度约束矩阵，约束两个刚体在垂直于铰链轴方向上的角速度分量相等： $$ J_{\text{ang}} = \begin{bmatrix} 0_3 & a_{1\perp 1}^T & 0_3 & -a_{2\perp 1}^T \\ 0_3 & a_{1\perp 2}^T & 0_3 & -a_{2\perp 2}^T \end{bmatrix} $$ 其中 \(a_{\perp 1}, a_{\perp 2}\) 是两个垂直于铰链轴的方向。

完整 $J$ 矩阵是 \(5 \times 12\)： $$ J = \begin{bmatrix} I_3 & -[r_1]\times & -I_3 & [r_2]\times \\ 0_3 & a_{1\perp 1}^T & 0_3 & -a_{2\perp 1}^T \\ 0_3 & a_{1\perp 2}^T & 0_3 & -a_{2\perp 2}^T \end{bmatrix} $$

Universal Joint（万向节）

✅ Universal Joint 约束位置 + 1 个旋转自由度，允许两个旋转自由度。

约束方程

位置级约束（同 Ball Joint）： $$ x_1 + R_1 r_1 = x_2 + R_2 r_2 $$

角速度约束（额外约束）： $$ \omega_1 \cdot a_1 = \omega_2 \cdot a_2 $$ $$ \omega_1 \cdot b_1 = \omega_2 \cdot b_2 $$

其中 \(a, b\) 是两个相互垂直的轴向，分别位于两个刚体上。

矩阵形式： $$ Jv = \begin{bmatrix} J_{\text{pos}} \\ J_{\text{ang}} \end{bmatrix} v = 0 $$

其中：

• \(J_{\text{pos}}\) 是 \(3 \times 12\) 的位置约束矩阵（同 Ball Joint）
• \(J_{\text{ang}}\) 是 \(1 \times 12\) 的角速度约束矩阵，约束两个刚体在万向节轴向上的角速度分量相等： $$ J_{\text{ang}} = \begin{bmatrix} 0_3 & a_1^T & 0_3 & -a_2^T \end{bmatrix} $$

完整 $J$ 矩阵是 \(4 \times 12\)： $$ J = \begin{bmatrix} I_3 & -[r_1]\times & -I_3 & [r_2]\times \\ 0_3 & a_1^T & 0_3 & -a_2^T \end{bmatrix} $$

Fixed Joint（固定）

✅ Fixed Joint 完全固定两个刚体，不允许任何相对运动。

约束方程

位置级约束（同 Ball Joint）： $$ x_1 + R_1 r_1 = x_2 + R_2 r_2 $$

角速度约束（全部约束）： $$ \omega_1 = \omega_2 $$

矩阵形式： $$ Jv = \begin{bmatrix} J_{\text{pos}} \\ J_{\text{ang}} \end{bmatrix} v = 0 $$

其中：

• \(J_{\text{pos}}\) 是 \(3 \times 12\) 的位置约束矩阵（同 Ball Joint）
• \(J_{\text{ang}}\) 是 \(3 \times 12\) 的角速度约束矩阵，约束两个刚体的角速度完全相同： $$ J_{\text{ang}} = \begin{bmatrix} 0_3 & I_3 & 0_3 & -I_3 \end{bmatrix} $$

完整 $J$ 矩阵是 \(6 \times 12\)： $$ J = \begin{bmatrix} I_3 & -[r_1]\times & -I_3 & [r_2]\times \\ 0_3 & I_3 & 0_3 & -I_3 \end{bmatrix} $$

运动方程 + 约束方程

无论哪种关节，都可以统一写成：

$$ \begin{align*} M\dot{v} + C(x,v) &= f + J^T\lambda \\ Jv &= 0 \end{align*} $$

✅ 联立方程组可以解出约束力 \(\lambda\) 和下一时刻的速度。

约束求解的详细推导：见 Constraints.md（小球例子）

统一约束求解框架

✅ 核心洞察：不同约束的求解公式完全一样，唯一的区别是雅克比矩阵 \(J\) 的构造。

不同关节的 \(J\) 矩阵对比

统一求解流程

无论哪种关节，都遵循相同的求解步骤：

1. 计算预测速度：\(v^* = v_n + h M^{-1}f\)
2. 构建约束雅可比 \(J\)（根据关节类型）
3. 求解拉格朗日乘子： $$ \lambda = (J M^{-1}J^T + \beta I)^{-1}(b - Jv^*) $$
4. 计算约束力：\(f_c = J^T\lambda\)
5. 更新速度：\(v_{n+1} = v^* + h M^{-1}J^T\lambda\)

✅ 物理引擎实现的关键：

• 为每种关节类型实现一个 \(J\) 矩阵构造函数
• 把所有约束的 \(J\) 行堆叠起来形成总约束矩阵
• 代入统一公式求解 \(\lambda\)

✅ 多约束同时处理：当系统有多个约束时（如多个关节 + 接触），只需将每个约束的 \(J\) 矩阵按行堆叠，公式形式不变，只是矩阵维度更大。

多个刚体与多个约束

✅ 分段多刚体系统：公式形式相同，只是矩阵维度更大。

对于 \(n\) 个刚体、\(m\) 个约束的系统：

• \(M\) 是 \(6n \times 6n\) 的分块对角矩阵
• \(J\) 是 \(m \times 6n\) 的矩阵（每个约束贡献若干行）

关节力矩

关节力矩的详细介绍：见 JointTorques.md

✅ 关节力矩是主动控制力矩，用于驱动角色运动。在运动方程中： $$ M\dot{v} + C(x,v) = f_{\text{ext}} + f_{\text{joint}} + J^T\lambda $$ 其中 \(f_{\text{joint}}\) 是关节力矩（主动），\(J^T\lambda\) 是约束力（被动）。

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