P11

Zero-Moment Point (ZMP)

✅ 通过ZMP的控制实现比较稳定的走路。

全身受力分析与问题简化

✅ 角色受到重力和GRF力。
✅ GRF ＝ 支持力（向上）＋ 动摩擦力（有速度时才有）
✅ 简化：上半身受到的所有的力，都体现在 ankle 关节上。
✅ 通过对 ankle 施加力/力矩来实现全身移动。

P12

$$ M\dot{v} +C(x,v)=f+f_J $$

✅ 在满足这个公式的前提下，一个部分动了另一个部分就会跟着动。因此可以把问题简化，只分析ankle。

P15

脚上受力分析

✅ 仅分析脚上的力，\(f_{\text{ankle}}\) 为 ankle 上的力转化到脚上的力。

✅ 地面对脚的力不是施加到某一个点上，但可以根据公式换算成施加到某一点的力。

P17

Assuming the ground is flat and level
so \(p_i\) - \(p\) is always in the horizontal plane

✅ 把 \(\tau _{GRF} \) 分解为与地面垂直部分和与地面平行部分（力矩的方向是指它的旋转轴的方向。），其中垂直的部分为：

水平的部分为：

Can we find \(p\) such that \(\tau _{GRF}^{xz}=0\) ?

P21

Zero-Moment Point (ZMP)

当\(p\) 为 center pressure时：

$$ \begin{align*} f_{GRF} & =\sum _{i}^{} f_i \\ \tau _{GRF} & =\tau _{GRF}^y=\sum _{i}^{}(p_i-p)\times f_i^{xz} \end{align*} $$

The position of \(p\) is not known, but we assume 以上公式成立。

ZMP条件下支撑脚的受力分析

假设： 支撑脚 should not move in a stance phase，且支撑脚与地面完成接触
则：在所有力作用下处于静平衡状态。

Static Equilibrium:

静态平衡满足：所有合力为0

$$ f_{\text{ankle}} + f_{\text{GRF}} + mg = 0
$$

静态平衡满足：任选一个参考点，所有合力（力矩）相对于参考点的动量为0，否则会旋转。

The moment around a reference point \(o\):

$$ (u-o) \times f_{\text{ankle}} + (p-o) \times f_{\text{GRF}} + (x-o)\times mg + \tau _{GRF}^{y} + \tau _{\text{ankle}} = 0 $$

✅ \(o\) 是一个参考点，可以在任意位置
✅ U：ankle 位置。
✅ X：质心位置 ✅ P：位置未知，高度为 0．

同样只关心水平方向：

Horizontal components (moment projected onto \(xz\) plane):

$$ ((u-o) \times f_{\text{ankle}})^{xz} +( (p-o) \times f_{\text{GRF}} ) ^{xz}+ (x-o)\times mg + \tau _{\text{ankle}}^{xz} = 0 $$

✅ 总力矩为 0，否则人会旋转。

P28

求解 Zero-Moment Point (ZMP)

We can solve this equation to find \(p\)

\(p\) is called Zero-Moment Point (ZMP) because it makes

$$ \tau _{GRF}^{xz}=0 $$

and the horizontal moment

$$ ((u-o) \times f_{\text{ankle}})^{xz} +( (p-o) \times f_{\text{GRF}} ) ^{xz}+ (x-o)\times mg + \tau _{\text{ankle}}^{xz} = 0 $$

Only when 𝑝 is within the support polygon!

✅ \(p\) 满足（1）水平力矩为0. （2）人整体上平衡。
✅ \(u，O，X\) 都是已知，\(p\) 的高度为 0，只有 \(P_xP_y\) 未知且该公式分别在 \(X\) 和 \(Z\) 上成立，实际上是两个方程。
✅ 两个未知量和两个方程，可以解出 \(p\)。

P33

如果解出公式得到的\(p\) is outside the support polygon，那么：
\(p\) could NOT be the center of pressure, because all the GRFs are applied within the polygon, so that

$$ \tau _{GRF}^{xz}\ne 0 $$

✅ 如果求出 \(p\) 在 polygon外 则不能平衡，因为不是 center pressure.

如果选择polygon上的real center of pressure\({p}' \) ,那么：

$$ ((u-o) \times f_{\text{ankle}})^{xz} +( ({p}'-o) \times f_{\text{GRF}} ) ^{xz}+ (x-o)\times mg + \tau _{\text{ankle}}^{xz} \ne 0 $$

✅ \({p}' \ne p\)，\({p}'\) 处水平方向的合外力不为零，脚会翻转人会摔倒。

Simplified Models

P35

关于ZMP的思考

The existence of ZMP is an indication of dynamic balance We can achieve balanced walking by controlling ZMP But how?

P36

Simplified Models的基本套路

  • Simplify humanoid / biped robot into an abstract model
    • Often consists of a CoM and a massless mechanism
    • Need to map the state of the robot to the abstract model

✅ 因此，把最影响平衡的量拿出来，建立简化模型。
✅ 实际上更加复杂，对上半身任何一个部位的干挠，都会影响到脚上的力。

  • Plan the control and movement of the model

    • Optimization
    • Dynamic programming
    • Optimal control
    • MPC

  • Track the planned motion of the abstract model

    • Inverse Kinematics
    • Inverse Dynamics

P37

Example: ZMP-Guided Control

🔎

✅ 把机器人简化为桌子和小车，通过控制小车m的运动来控制 ZMP。使 ZMP 满足预定义轨迹。

✅ 预定义轨迹的轨迹是指保持在pologon里面。通过优化得到 \(m\) 的运动。
✅ 然后通过IK和PD control控制脚的运动。

✅ ASIMO机器人局限性：(1) 脚必须与地面平行。 (2) 脚必须弯曲。 (3) 整体移动速度慢。

P40

Inverted Pendulum Model (IPM)

Walking == Falling + Step Planning

✅ 人的特点是重心偏离再拉回来，这样比始终保持平更省。

P42

IPM问题

✅ IPM： 倒立摆模型，控制小车使杆不掉下去。

Step Plan with IPM

🔎

P45

  • Map CoM of the character and the stance foot as IPM
  • Plan the position of the next foot step so that the mass point rests at the top of the pendulum
  • Create foot trajectory based on the step plan
  • Compute target poses using IK

✅ 脚到重心是一个倒立摆。
✅ 由于失去平衡，质心有一个向前的速度，通过到一个合适的落脚点，使质心到达脚的正上方刚好到达速度稳定。
✅ 算出脚的目标位置后，插值，IK，PD 控制。

P46

✅ 动能转势能，能量守恒．算出高度。
❗ 注意：杆的长度是不确定的，因为腿会弯曲。

P47

✅ 方法优点：可以适用于不同角色，不同动作，不同环境交互。

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