Contacts
✔ 如何处理与地面的接触，让人站在地面上。
✔ 要解决的问题：
- 地面接触检测：检测哪些点/面与地面接触
- 接触力施加：如何对碰撞点施加力，使物体不陷入地面
💡 与 GAMES103 的分工
- GAMES103 - 碰撞检测与响应：详细介绍碰撞检测算法（Broad Phase、Narrow Phase、GJK、CCD）和穿透解除方法（内点法、Impact Zone）
- GAMES105 - 接触约束求解：focus 在如何将接触建模为约束，并与关节约束统一求解
深入学习：
方法一：Penalty-based Contact Model（基于惩罚的接触模型）
基本思想
用弹簧 - 阻尼模型近似接触力：当物体穿透地面时，产生一个与穿透深度成正比的斥力。
$$ f_n = -k_p d - k_d v_{c,\perp} $$
| 参数 | 含义 |
|---|---|
| $d$ | 穿透深度（$d > 0$ 时公式生效） |
| $k_p$ | 弹簧刚度（越大越不容易穿透） |
| $k_d$ | 阻尼系数（防止反弹） |
| $v_{c,\perp}$ | 接触点法向速度 |
✔ 效果：会有一些陷入，但不会陷入太多 ❐ 支持力竟然不是 $-mg$，而是由弹簧模型决定
考虑摩擦力
动摩擦力模型： $$ f_t = -\mu f_n \frac{v_{c,\parallel}}{||v_{c,\parallel}||} $$
| 参数 | 含义 |
|---|---|
| $\mu$ | 摩擦系数 |
| $f_n$ | 法向支持力 |
| $v_{c,\parallel}$ | 接触点切向速度 |
✔ 一般不模拟静摩擦力
存在的问题
| 问题 | 原因 | 后果 |
|---|---|---|
| $k_p$ 必须很大 | 否则脚陷地明显 | 需要非常小的时间步长 |
| $k_d$ 必须非常大 | 否则地面像蹦床 | 数值不稳定 |
| 时间步长必须小 | 高增益导致刚度大 | 仿真效率低 |
💡 与 GAMES103 内点法的关系
GAMES103 中介绍的**内点法（Interior Point Methods）**使用了类似的惩罚思想，但用能量场定义斥力：
$$ E(\mathbf{x}) = -\rho \log ||\mathbf{x}_{ij}|| $$
$$ \mathbf{f} = -\nabla E = \rho \frac{\mathbf{x}{ij}}{||\mathbf{x}{ij}||^2} $$
两种方法本质相同：距离越近，斥力越大。GAMES105 使用简化的弹簧模型，更易于理解。
方法二：Contact as a Constraint（接触作为约束）
✔ 另一种方法，把接触建模为数学约束，与关节约束统一求解。
接触点状态分析
接触点 $x_c$ 的位置表示： $$ x_c = x + r_c $$
接触点 $x_c$ 的速度表示： $$ v_c = v + \omega \times r_c = J_c \begin{bmatrix} v \\ \omega \end{bmatrix} $$
接触点法向速度： $$ v_{c,\perp} = J_{c,\perp} \begin{bmatrix} v \\ \omega \end{bmatrix} $$
接触点约束分析
✔ 约束 1：点在竖直方向的速度必须 $\geq 0$，即只能向上移动（不能向下穿透）。
✔ 约束 2：力的大小 $\lambda > 0$，只能推，不能拉。$\lambda$ 是力与速度的大小比例系数。
✔ 约束 3：力和速度只能有一个不为零，否则会做功（互补条件）。
$$ v_c \perp \lambda = 0 $$
线性互补问题（LCP）
✔ 合在一起称为线性互补方程，是碰撞建模的标准方式。
这类问题被称为：(Mixed) Linear Complementary Problem (LCP)
解 LCP 的方法有：
- Lemke's algorithm – a simplex algorithm
- Projected Gauss-Seidel
- 其他数值优化方法
❐ 这个方程比较难解，计算成本高于 Penalty 方法
考虑摩擦力的约束问题
How to deal the friction?
🔍 推荐阅读：Fast contact force computation for nonpenetrating rigid bodies. David Baraff. SIGGRAPH '94
✔ 该论文提出了快速实现静摩擦约束的建模方法。
两种方法对比
| 特性 | Penalty-based | Constraint-based (LCP) |
|---|---|---|
| 原理 | 弹簧 - 阻尼模型近似 | 数学约束精确建模 |
| 穿透 | 允许少量穿透 | 无穿透 |
| 求解 | 直接计算力 | 需要专门求解器 |
| 计算成本 | 低 | 高 |
| 数值稳定性 | 需要小步长 | 较稳定 |
| 与关节约束统一 | 否 | ✅ 是 |
| 适用场景 | 实时应用、游戏 | 精确仿真、研究 |
在运动方程中的位置
对于有接触的角色系统，运动方程为：
$$ M\dot{v} + C(x,v) = f_{\text{ext}} + f_{\text{joint}} + J_{\text{contact}}^T \lambda_{\text{contact}} $$
$$ J_{\text{contact}} v \geq 0, \quad \lambda_{\text{contact}} \geq 0, \quad (J_{\text{contact}} v) \perp \lambda_{\text{contact}} $$
✔ 关键：接触约束与关节约束形式统一，可以同时求解！
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