Outline

Walking and Dynamic Balance
Simplified Models
- ZMP (Zero-Moment Point)
- Inverted Pendulum
- SIMBICON

✅ 不能直接控制角色位置，而是通过与地面的力和反作用力。

Walking

🔎 Gait disorders in adults and the elderly.
phases of a walking gait cycle
Pirker and Katzenschlager 2017.

Walking VS Running

Walking	Running
Walking: move without loss of contact, or flight phases

Walking的几个阶段

✅ 以上过程假设角色处于 static 状态。没有考虑到移动过程中的脚的动量。因此只能勉强保持角色稳定。要以非常慢的速度相前移动。

P11

Zero-Moment Point (ZMP)

✅ 通过ZMP的控制实现比较稳定的走路。

全身受力分析与问题简化

✅ 角色受到重力和GRF力。
✅ GRF ＝支持力（向上）＋动摩擦力（有速度时才有）
✅ 简化：上半身受到的所有的力，都体现在 ankle 关节上。

P12

Recall: A System of Links and Joints

$$ M\dot{v} +C(x,v)=f+f_J $$

✅ 在满足这个公式的前提下，一个部分动了另一个部分就会跟着动。因此可以把问题简化，只分析ankle。

P15

脚上受力分析

✅ 仅分析脚上的力，$f_{\text{ankle}}$ 为 ankle 上的力转化到脚上的力。

✅ 地面对脚的力不是施加到某一个点上，但可以根据公式换算成施加到某一点的力。

P17

Assuming the ground is flat and level
so $p_i$ - $p$ is always in the horizontal plane

✅ 把 $\tau _{GRF} $ 分解为与地面垂直部分和与地面平行部分（力矩的方向是指它的旋转轴的方向。），其中垂直的部分为：

水平的部分为：

Can we find $p$ such that $\tau _{GRF}^{xz}=0$ ?

P21

Zero-Moment Point (ZMP)

当$p$ 为 center pressure时：

$$ \begin{align*} f_{GRF} & =\sum _{i}^{} f_i \\ \tau _{GRF} & =\tau _{GRF}^y=\sum _{i}^{}(p_i-p)\times f_i^{xz} \end{align*} $$

The position of $p$ is not known, but we assume 以上公式成立。

ZMP条件下支撑脚的受力分析

假设：支撑脚 should not move in a stance phase，且支撑脚与地面完成接触
则：在所有力作用下处于静平衡状态。

Static Equilibrium:

静态平衡满足：所有合力为0

$$ f_{\text{ankle}} + f_{\text{GRF}} + mg = 0
$$

静态平衡满足：任选一个参考点，所有合力（力矩）相对于参考点的动量为0，否则会旋转。

The moment around a reference point $o$:

$$ (u-o) \times f_{\text{ankle}} + (p-o) \times f_{\text{GRF}} + (x-o)\times mg + \tau _{GRF}^{y} + \tau _{\text{ankle}} = 0 $$

✅ $o$ 是一个参考点，可以在任意位置
✅ U：ankle 位置。
✅ X：质心位置 ✅ P：位置未知，高度为 0．

同样只关心水平方向：

Horizontal components (moment projected onto $xz$ plane):

$$ ((u-o) \times f_{\text{ankle}})^{xz} +( (p-o) \times f_{\text{GRF}} ) ^{xz}+ (x-o)\times mg + \tau _{\text{ankle}}^{xz} = 0 $$

✅ 总力矩为 0，否则人会旋转。

P28

求解 Zero-Moment Point (ZMP)

We can solve this equation to find $p$

$p$ is called Zero-Moment Point (ZMP) because it makes

$$ \tau _{GRF}^{xz}=0 $$

and the horizontal moment

$$ ((u-o) \times f_{\text{ankle}})^{xz} +( (p-o) \times f_{\text{GRF}} ) ^{xz}+ (x-o)\times mg + \tau _{\text{ankle}}^{xz} = 0 $$

Only when 𝑝 is within the support polygon!

✅ $p$ 满足（1）水平力矩为0. （2）人整体上平衡。
✅ $u，O，X$ 都是已知，$p$ 的高度为 0，只有 $P_xP_y$ 未知且该公式分别在 $X$ 和 $Z$ 上成立，实际上是两个方程。
✅ 两个未知量和两个方程，可以解出 $p$。

P33

如果解出公式得到的$p$ is outside the support polygon，那么：
$p$ could NOT be the center of pressure, because all the GRFs are applied within the polygon, so that

$$ \tau _{GRF}^{xz}\ne 0 $$

✅ 如果求出 $p$ 在 polygon外则不能平衡，因为不是 center pressure.

如果选择polygon上的real center of pressure${p}' $ ,那么：

$$ ((u-o) \times f_{\text{ankle}})^{xz} +( ({p}'-o) \times f_{\text{GRF}} ) ^{xz}+ (x-o)\times mg + \tau _{\text{ankle}}^{xz} \ne 0 $$

✅ ${p}' \ne p$，${p}'$ 处水平方向的合外力不为零，脚会翻转人会摔倒。

Simplified Models

P35

关于ZMP的思考

The existence of ZMP is an indication of dynamic balance We can achieve balanced walking by controlling ZMP But how?

P36

Simplified Models的基本套路

Simplify humanoid / biped robot into an abstract model
- Often consists of a CoM and a massless mechanism
- Need to map the state of the robot to the abstract model

✅ 因此，把最影响平衡的量拿出来，建立简化模型。
✅ 实际上更加复杂，对上半身任何一个部位的干挠，都会影响到脚上的力。

Plan the control and movement of the model
- Optimization
- Dynamic programming
- Optimal control
- MPC
Track the planned motion of the abstract model
- Inverse Kinematics
- Inverse Dynamics

P37

Example: ZMP-Guided Control

🔎

✅ 把机器人简化为桌子和小车，通过控制小车m的运动来控制 ZMP。使 ZMP 满足预定义轨迹。

✅ 预定义轨迹的轨迹是指保持在pologon里面。通过优化得到 $m$ 的运动。
✅ 然后通过IK和PD control控制脚的运动。

✅ ASIMO机器人局限性：(1) 脚必须与地面平行。 (2) 脚必须弯曲。 (3) 整体移动速度慢。

P40

Inverted Pendulum Model (IPM)

Walking == Falling + Step Planning

✅ 人的特点是重心偏离再拉回来，这样比始终保持平更省。

P42

IPM问题

✅ IPM：倒立摆模型，控制小车使杆不掉下去。

Step Plan with IPM

🔎

P45

Map CoM of the character and the stance foot as IPM
Plan the position of the next foot step so that the mass point rests at the top of the pendulum
Create foot trajectory based on the step plan
Compute target poses using IK