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Constraints简化问题分析

问题描述

✅ 假设有一约束：小球必须按轨道行进。

✅ 根据已知条件，可以进行以下分析：由于每一时刻都满足，对时间求导，导数为零。

其中第一项为 $g(x)$ 的雅克比矩阵，记作 $J$ 或 $[\nabla g]^{T}$, 第二项为 $x$ 的速度。
因此得到约束为：如果要求小球按照轨道运行，其速度必须满足以下公式。

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✅ 为了让小球满足约束，需给小球一个约束力。

$^\ast $ Constraint is passive No energy gain or loss!!!

$$ f_c\cdot v=0 $$

✅ 约束力不应产生能量，即力与运动方向垂直。

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✅ $J$ 本是一个矩阵，但在这个场景中 $C$ 是常数，所以 $J$ 是向量。 ✅ 结合是一页的结论可知：$f_c$ 与 $J$ 同方向，但大小未知。$\lambda $代表一个未知的 scale。
✅ $f_c$ 大小以当前状态和外力情况计算而得。

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✅ 对小球做受力分析，受到外力 $f$ 和约束力 $f_c$．
✅ 假设 $M，x，v．f$ 已知，求 $f_c$ ，使得小球沿轨迹移动。

$$ \begin{align*} M\dot{v} & =f+J^T\lambda \\ Jv&=0 \end{align*} $$

✅ 公式 1：$f＝am$．公式 2：前面推导得出。把两个公式离散化。
✅ 假设当前时刻已满足 $J_n v_n = 0$，所以只约束下一时刻。

$$ \begin{align*} M\frac{v_{n+1}-v_n}{h} & =f+J^T\lambda \\ Jv_{n+1}&=0 \end{align*} $$

✅ 得出未知数为$\lambda$和$v_{n+1}$的联立方程组，求解方程组。
✅ 因为公式 2 只约束了速度没有约束位置。离散化后对原公式只是近似，会有误差，导到小球远离曲线。
✅ 解方程组不难，但存在小球偏离轨道的问题。

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✅ 当物体偏离轨道，要把它拉回来。因此公式2改为：

$$ Jv_{n+1}=\alpha \frac{C-g(x_n)}{h} $$

等式右边的非零项称为 Correction of numerical errors。
𝛼: error reduction parameter (ERP)

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✅ 把校正项简写为 $b$. $ n $ 时刻发现的误差由 $ n+1 $ 时刻来校正。
✅ 为了防止矩阵不可逆，增加 $\beta I$.（常见技巧）
✅ 解 $\lambda$ 需要先求逆。

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