P105

Joint Constraint

✅ 前面是约束应用的简单例子，真正的问题是如何把约束应用到两个物体的连接约束上。

✅ 因此设计约束：从 $x_1$ 求 $x_J$位置和从 $x_2$ 求 $x_J$位置所得结果应该相同。

$$ x_1+R_1r_1=x_J=x_2+R_2r_2 $$

对$dt$求导：

$$ v_1+\omega _1\times r_1=v_2+\omega _2\times r_2 $$

P106

✅ 整理得矩阵形式，得：

$$ \begin{bmatrix} I_3 & -[r_1] _ \times & -I_3 & [r_2] _ \times \end{bmatrix}\begin{bmatrix} v_1 \\ w_1 \\ v_2 \\ w_2 \end{bmatrix}=0 $$

✅ 矩阵乘法第一项为 $J$，第二项为 $v$. 进一步简化为：

$$ Jv=0 $$

P107

$$ \begin{align*} M\dot{v} +C(x,v)& =f+J^T\lambda \\ Jv&=0 \end{align*} $$

✅ 公式 1：运动方程。公式 2：约束方程。
✅ 运动方程与约束方程联立，可以解出约束力$f_J$，以及下一时刻的速度。

P109

✅ 前面描述的是 Ball Joint的约束。

✅ Hinge 约束：除了位置还有角速度约束，在某个轴上的角速度应当一致。Universal 类似。

P110

A System with Many Links Joints

✅ 分段多刚体在公式上没有本质区别，只是矩阵更大一点。

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