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Outline

• Simulating & Actuating Characters

  • Joint torques

• PD (Proportional-Derivative) control

✅ 在仿真基础之上，如何驱动角色动画，如何动得更好，更真实。
✅（1）控制力如何施加到角色身上
✅（2）如何计算控制力

Simulating & Actuating Characters

P17

Defining a Simulated Character

Rigid bodies:

• \(m_i,I_i,x_i,R_i\)
• Geometries

Joints:

• Position
• Type

✅ Type指关节的类型，例如 Hint、Universal等。它决定了约束方程。

• Bodies

✅ 关节的数量比刚体的数量少1

✅ 仿真过程中通常使用简单几何体代替 Mesh. 为了便于碰撞检测的计算，以及辨别里外。

P19

Simulating a Character Pipeline

✅ 这个仿真流程是 ragdoll 效果。

P22

Actuating a Rigid Body

✅ 想让角色做指定动作，不能直接修改其状态，而是控制力影响状态。

力加在质心上，只会导致平移，不会导致旋转。
✅ 在物体边缘旋加力，等价于在质心施加力，并施加一个导致旋转的力矩。
✅ 在质心上施加一个力矩，等价于施加一对大小相同方向相反的力。在质心处的合力为零，不会产生位移，只会产生旋转。 ✅ 力矩只是数学上的概念。

P26

Actuating Articulated Rigid Bodies

✅ 为了驱动角色，可以单独对每个刚体施加力或力矩。
✅ 也可以在关节上施加力矩。

P29

Joint Torques

What is a joint torque?
How is a joint torque applied?

✅ 回顾前面公式，力和力矩都是施加在刚体上的，如何施加在关节上?

P33

什么是Joint Torques

✅ 关节上的力矩，可以看作是一个刚体对另一个刚体在关节处施加的成对的力。其合力为零但每个力施加的位置不同，可以转化为对另一刚体的力矩。

$$ \sum_{i}^{} f_i=0 $$

✅ 每个力都会对其中一个刚体的质心上产生力矩，合力矩不为0。

$$ \tau _1= \sum _ {i}^{} (r_1+r_i) \times f_i=r_1 \times \sum _ {i}^{}f_i + \sum _ {i}^{}r_i \times f_i $$

P34
由于

$$ \sum _ {i}^{} f_i=0 $$

得：

$$ \tau _1= \sum _ {i}^{} r_i \times f_i \quad \quad \quad \quad \tau _2= -\sum _ {i}^{} r_i \times f_i $$

✅ 另一个方向同理。
✅ 力矩跟关节的位置没有关系。

P36
结论：

✅ 在关节上施加力矩 \( \tau\) 等价于在一个刚体上施加 \( \tau\)，在另一个刚体上施加 \(- \tau\).

P38

怎样施加Joint Torques

Applying a joint torque \( \tau\):

• Add \( \tau\) to one attached body
• Add \( -\tau\) to the other attached body

$$ M\begin{bmatrix} \dot{v}_1 \\ \dot{\omega }_1 \\ \dot{v}_2\\ \dot{\omega }_2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0\\ \omega_1 \times I_1 \omega _1\\ 0\\ \omega_2 \times I_2 \omega _2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0 \\ \tau \\ 0 \\ -\tau \end{bmatrix}+J^T\lambda $$

$$ Jv=0 $$

✅ 通常在子关节上加 \(\tau \)，在父关节上加 \(-\tau \)．

P40

Simulating + Controlling a Character

✅ 控制器，根据当前角色状态，以及额外控制信号实时计算出 \(f \) 和 \(\tau \)，影响角色动作变化。

P44

Forward Dynamics vs. Inverse Dynamics

✅ 运动方程，本质上是建立力与加速度之间的联系。
✅ 前向与后向，是一个运动方程的两种用法。
✅ 仿真器为前向部分，控制后逆向部分。

P46

Fully-Actuated vs. Underactuated

在上一节中，\(f\) 与 \(V\) 的自由度可能是不同的。\(f\) 是关节数\( × 3\)，\(V\) 是刚体数\( × 3\)。

If #actuators ≥ #dofs, the system is fully-actuated	If #actuators < #dofs, the system is underactuated
For any \([x,v,\dot{v} ]\), there exists an \(f\) that produces the motion	For many \([x,v,\dot{v} ]\) , there is no such \(f\) that produces the motion
✅ 可以精确控制机械臂到达目标状态。	✅ 不借助外力情况，人无法控制 Hips 的状态（位置）。

✅ ＃actuators：\(f \) 和 \(\tau \) 的自由度。
✅ #dofs：角色状态的自由度。
✅ 避免让角色掉入无法控制的状态。
[❓] 一个关节边接多个刚体是不是也会导欠驱动？

P49

Feedforward vs. Feedback

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