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Contacts

✅ 如何处理与地面的接触，让人站在地面上。

✅ 要解决的问题：(1) 地面接触检测 (2) 如何对碰撞点施加力，使物体出来。

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Penalty-based Contact Model

$$ f_n=-k_pd-k_dv_{c,\perp } $$

✅ $d>0$ 时公式才生效。类似弹簧形式，陷入越深，力越大。
✅ 第二项：为了防止落地弹飞，增加阻尼项。
✅ 效果：会有一些陷入，但不会陷入太多
❗ 支持力竟然不是 $-mg$。

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✅ 受力分析：支持力，动摩擦力。
✅ 动摩擦力，大小＝支持力 x 摩擦系数，方向与运动方向相反

$$ \begin{align*} f_t&=-\mu f_n\frac{v_{c,\parallel }}{||v_{c,\parallel }||} \end{align*} $$

✅ 一般不模拟静摩擦力

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✅ 存在的问题：$K_p$ 必须很大，否则脚陷地明显。$K_d$ 必须非常大，否则地面像蹦床。步长必须非常小，否则不稳定。

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✅ 另一种方法，把接触建模为约束。

接触点 $x_c$ 的位置表示：
$$ x_c =x+r_c \quad\quad\quad\quad\quad\quad $$

接触点 $x_c$ 的速度表示：

$$ v_c =v+\omega \times r_c=J_c \begin{bmatrix} v\\ w \end{bmatrix} $$

$$ v_{c,\perp } =v+\omega \times r_c=J_{c,\perp }\begin{bmatrix} v \\ \omega \end{bmatrix} $$

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✅ 约束 1：点在竖直方向的速度必须大于 0，即只能向上移动。

✅ 约束 2：力的大小也大于 0．只能推，不能拉。$\lambda$ 是力与速度的大小比例系数。$\lambda>0$ 代表同方向。

✅ 约束 3：力和速度只能有一个不为零，否则会做功。

$$ v_c\perp \lambda =0 $$

✅ 合在一起称为线性互补方程，是通常碰撞建模方式。
✅ 这个方程比较难解，例如 ODE

这类问题被称为：(Mixed) Linear Complementary Problem (LCP)
解LCP的方法有：
e.g. Lemke's algorithm – a simplex algorithm

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How to deal the friction?

🔎 Fast contact force computation for nonpenetrating rigid bodies.
David Baraff. SIGGRAPH ’94
✅ 快速实现静摩擦约束的建模。

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✅ 把人简化为分段刚体。整体过程为：
✅ (1) 黄：计算当前状态。
✅ (2) 绿：计算约束，求解，解出下一时刻的速度。
✅ (3) 蓝：更新下一时刻的量（积分）。
✅ 缺少部分：主动力 $f$ 推动角色产生运动。

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