Introduction

基于LBS的3D骨骼蒙皮动画的相关技术

Refereneces

1. GAMES105
2. https://www.cs.cmu.edu/~baraff/sigcourse/

P7

3D Computer Graphics

P10

3D Computer Animation

✅ 仿真，用于描述客观事物，它们的运动规律可以用精确的数来描述。GAMES103
✅ 动画，用于描述有主观意志的事物，使用统计的方式来对它们的行为建模(例如AI建模)。 GAMES105

P11

Why Do We Study Character Animation

• A character typically has 20+ joints, or 50-100+ parameters
  • It is not super high-dimensional, so most animation can be created manually, by posing the character at keyframes
  • Labor-intensive, not for interactive applications

• Character animation techniques
  • Understanding the mechanism behind motions and behaviors
  • Smart editing of animation/ Reuse animation / Generate new animation
  • “Compute-intensive”

✅ 计算机角色动画把原本劳动密集型的动画师工作变成计算密集型的工作。

P13

Character Animation Pipeline

P15

Where does a Motion Come From

根据是否使用物理，把角色动画分为两大类。

运动学 vs. 动力学对比

✅ 运动学方法：基于运动学直接更新角色状态，运动可以不符合物理规律。 ✅ 动力学方法：基于物理仿真，但实际会有简化，不能直接干预角色姿态。

P16

Keyframe-based/Kinematic Approaches

✅ 基于运动学直接更新角色状态，运动可以不符合物理规律。

P18

Physics-based/Dynamic Approaches

✅ 基于物理，但实际情况会有简化，不能直接干预角色姿态。

P19

Control Level

根据控制方式的高度，可以分为Low Level和Heigh Level

P20

low-level control

✅ 对每一帧每一个姿态进行精确控制每个细节。
✅ 优点：精确控制；缺点：低效。

P21

high-level control

✅ 控制高级目标。

Keyframe-based/Kinematic Approaches

P24

Disney’s 12 Principles of Animation

[http://the12principles.tumblr.com/]

✅ 在动画师总结的准则里隐藏了物理规则和艺术夸张

Keyframe Animation

✅ 这是一种非常low level的控制方法，可以保证所有细节，但非常慢

P26

Forward Kinematics

Given rotations of every joints
Compute position of end-effectors

P27

Inverse Kinematics

Given position of end-effectors
Compute rotations of every joints

P28

Interpolation

Motion Capture

动捕设备、视频动捕，把动捕角色应用到角色身上，需要经过重定向
动作捕捉和重放，不能产生新的数据

✅ 光学动捕、视频动捕、穿戴传感器动捕。

P34

Motion Retargeting

Given motions of a source character
Compute motions for target characters with

• different skeleton sizes
• different number of bones
• different topologies
• ……

P36

Motion Graphs / State Machines

✅ 把捕出来的动作进行分解和重组，生成新的动作。

P37

Motion Graphs

✅ 给一段任意的动作，寻找能够构建状态机切换的位。

P38

Motion Graphs的改进 - Interactively Controlled Boxing

[Heck and Gleicher 2007, Parametric Motion Graphs]

✅ 对Motion Graph的改进，比如一个节点中有很多动作，对这些动作进行插值，来实现精确控制。

P39

Motion Graphs的高级应用

Character Animation in Two-Player Adversarial Games
KEVIN WAMPLER,ERIK ANDERSEN, EVAN HERBST, YONGJOON LEE, and ZORAN POPOVIC Univoersity of Washington

Near-optimal Character Animation with Continuous Control
Adrien Treuille \(\quad\) Yongjoon Lee \(\quad\) Zoran Popovic
University of Washington

✅ Motion Graph＋AI，实现高级控制
✅ 例如：AI使用Motion Graph，通过选择合适的边，进行执行，完成高级语义。

P42

Complex Motion Graphs

✅ 动作图非常复杂，容易出BUG．

P43

Motion Mathing

✅ 改进，Motion Graph的动作都是完整的片断，可以把动作再分细一点，切到每一帧。
✅ 不是完整地播放一段动作，而是每一帧结束后，通过最近邻搜索找到一个新的姿态，
✅ 满足：（1）接近控制目标（2）动作连续
✅ 关键：（1）定义距离函数（2）设计动作库

P45

Learning-based Approaches

https://caterpillarstudygroup.github.io/ImportantArticles/CharacterAnimation/HumanMotionGenerationSummary.html

✅ 对角色动作的内在规律去理解和建模，从数据学习统计规律。
✅ 生成模型：只需要采足够的动作去给模型就能生成新的动作。
✅ 不需要手工作切分、生成状态机

P49

Cross-Modal Motion Synthesis

• Audio-driven animation
  • Music to dance
  • Co-speech gesture
  • ……
• Natural language to animation
  • Descriptions to actions
  • Scripts to performance
  • ……

ID	Year	Name	Note	Tags	Link
	2022	Rhythmic Gesticulator	✅ 语言和动作都有内存的统计规律，把两种统计模型之间建关系，实现跨模态生成。

总结

Physics-based/Dynamic Approaches

✅ 不直接生成姿态，而是控制量（例如力），通过物理仿真真正改变角色。

P59

Ragdoll Simulation

✅ 用于人死掉、失去意识、突发事件来不及响应的情况。

P63

物理仿真角色动画的应用

[DeepMotion: Virtual Reality Tracking]

[Ye et al. 2022: Neural3Points]

[Yang et al. 2022: Learning to Use Chopsticks]

✅ 抓住手指动作细节 P67

P68

物理角色的建模方法

✅ 构建完整的神经系统和肌肉系统。
✅ （1）神经肌肉机理不清楚。
✅ （2）自由度高，仿真效率低。
✅ 所以实际上会做简化，对关节力矩进行建模

✅ 用关节力矩仿真肌肉的力。

P70

Force & Torque

P71

Keyfrmae Control

Proportional-Derivative (PD) Control

✅ 根据当前状态与目标状态的差距，计算出当前状态运动到目标状态所需要的力矩。

P72

Tracking Controllers

✅ 比如要做一个动作，给出目标高度的轨迹，采用PD控制生成每个关节的力矩，大概能产生要做的动作

[Hodgins and Wooten 1995, Animating Human Athletics]

P76

Trajectory Crafting

NaturalMotion - Endorphin

✅ 关键帧→力→仿真

实际上这个方法很难用起来，因为调整仿真参数甚至比直接做关键帧更花时间。

P79

Spacetime/Trajectory Optimization

✅ 用优化方法实现，结合重定向

[Liu et al 2010. SAMCON]

[Wampler and Popović. 2009. Optimal gait and form for animal locomotion]

[Hamalainen et al. 2020, Visualizing Movement Control Optimization Landscapes]

✅ 这是高维非线性优化问题，非常准解。

P83

Abstract Models 简化模型

通过简化模型实现对一些动作的控制，但只能做简单动作

SIMBICON

✅ 用简化模型把想要的动作描述出来，来指导角色控制。
✅ 基于此实现稳定的多技能的控制策略。
✅ 控制简化、缺少细节，走路像机器人。
✅ 简化模型思路，可以实现对一些动作进行控制，且结果鲁棒，允许使用外力与角色交互。
✅ 缺点：只能走路，不能复杂动作。

P85

Inverted Pendulum Model

[Coros et al. 2010]

P87

Reinforcement Learning

P89

DRL-based Tracking Controllers

[Liu et al. 2016. ControlGraphs]

[Liu et al. 2018]

[Peng et al. 2018. DeepMimic]

✅ 利用DRL做复杂动作，但还只是动作复现。

P90

Multi-skill Characters

引入状态机，完成更复杂动作。

State Machines of Tracking Controllers

引入Motion Maching

[Liu et al. 2017: Learning to Schedule Control Fragments]

Hierarchical Controllers

在高级指令控制下，综合使用动作来完成功能

Generative Control Policies

运动生成模型	控制生成模型

总结

✅ 回顾计算机角色动化领域最近30年主要研究方向。

P102

About This Course

• What will not be covered

  • How to use Maya/Motion Builder/Houdini/Unity/Unreal Engine…
  • How to become an animator

• What will be covered

  • Methods, theories, and techniques behind animation tools

    • Kinematics of characters
    • Physics-based simulation
    • Motion control

  • Ability to create an interactive character

本文出自CaterpillarStudyGroup，转载请注明出处。

https://caterpillarstudygroup.github.io/GAMES105_mdbook/

P2

Outline

• Review of Linear Algebra

  • Vector and Matrix
  • Translation, Rotation, and Transformation

• Representations of 3D rotation

  • Rotation matrices
  • Euler angles
  • Rotation vectors/Axis angles
  • Quaternions

✅ 这节课大部分内容会跳过，因为前面课程讲过好多遍了

P3

Review of Linear Algebra

Vectors and Matrices

a few slides were modified from GAMES-101 and GAMES-103

P24

✅ 两个单位向量的叉乘不一定是单位向量。
✅ 要得到方向，应先叉乘再单位化
✅ \(n=\frac{a\times b}{||a\times b||}\)（正确）、\(n=\frac{a}{||a||} \times \frac{b}{||b||}\)（错误）

P26

How to find the rotation between vectors?

问题描述

✅ 已知\(a,b\) , 求旋转。

求旋转轴

P27

Any vector in the bisecting plane can be the axis

$$ 𝒖 =\frac{𝒂 × 𝒃}{||𝒂 × 𝒃||} $$

求旋转角

P28

The minimum rotation:
$$ \theta = \mathrm{arg} \cos \frac{a\cdot b}{||a||||b||} $$

✅ \(u\) 为旋转轴，\( \theta \) 为旋转角。

P33

How to rotate a vectors?

问题描述

已知 \(a\) 和旋转 \((𝒖, \theta )\) 求终点 \(b\)

解题方法

\(a\) 移动到 \(b\) 看作是先移动 \(𝒗\) 再移动 \(t\)，分别计算 \(𝒗\) 和 \(t\) 的方向和长度。

$$ 𝒗 \gets 𝒖 \times 𝒂 $$

$$ 𝒕 \gets 𝒖 \times 𝒗 = 𝒖 \times( 𝒖 \times 𝒂) $$

计算过程

P35

$$ 𝒗 = (\sin \theta) 𝒖 \times 𝒂 𝒕 =(1-\cos \theta ) 𝒖 \times( 𝒖 \times 𝒂) $$

Rodrigues' rotation formula

$$ 𝒃 = 𝒂 + (\sin \theta) 𝒖 × 𝒂 + (1-\cos \theta ) 𝒖 \times( 𝒖 \times 𝒂) $$

P53

Matrix

Matrix Form of Cross Product

$$ \begin{align*} c=a\times b= & \begin{bmatrix} a_yb_z-a_zb_y \\ a_zb_x-a_xb_z \\ a_xb_y-a_yb_x \end{bmatrix}\\ = & \begin{bmatrix} 0 & -a_z & a_y \\ a_z & 0 & -a_x \\ -a_y & a_x & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} b_x \\ b_y \\ b_z \end{bmatrix}=[a]_\times b \end{align*} $$

$$ [a]_\times +[a]^ \mathbf{T} _\times =0 \quad \quad \mathrm{skewsymmetric} $$

P56

$$ \begin{align*} a \times b = &[a] _ \times b \\ a \times (b \times c) = & [a] _ \times ( [b] _ \times c ) \\ = & [a] _ \times [b] _ \times c \\ a \times (a \times c) = & [a] ^2 _ \times b \\ (a \times b) \times c = & [a\times b] _ \times c \\ \end{align*} $$

✅ 最后一个公式注意一下，叉乘不满足结合律。

P57

How to rotate a vectors?

问题描述

已知 \(a\) 和旋转 \((𝒖, \theta )\) 求终点 \(b\)

把前面的结论转化为矩阵形式

$$ \begin{align*} b = & a+(\sin \theta )u \times a +(1-\cos \theta)u \times(u \times a) \\ b = & (I+(\sin \theta ))[u]_ \times + (1-(\cos \theta )[u]^2_ \times ) a \\ = & Ra \end{align*} $$

✅ 把前面的叉乘公式转化为点乘形式

结论

Rodrigues' rotation formula

$$ R = I+(\sin \theta )[u]_ \times + (1-\cos \theta )[u]^2_ \times $$

✅ \(R\) 是旋转 \((u, \theta )\) 对应的旋转矩阵。

P62

Determinant of a Matrix

定义

✅ 行列式的计算：红色相乘减蓝色相乘。

P63

公式

• det \(I = 1\)
• det \(AB = \text{ det } A ∗ \text{det } B\)
• det \(A^T\) = det \(A\)
• If \(A\) is invertible，det \(A^{−1}\) = \((\text{det } A)^{−1}\)
• If \(U\) is orthogonal，\(\text{det } U = ± 1\)

P64

Cross Product as a Determinant

$$ \begin{align*} c=a\times b= & \begin{bmatrix} a_yb_z-a_zb_y \\ a_zb_x-a_xb_z \\ a_xb_y-a_yb_x \end{bmatrix}\\ = & \text{det } \begin{bmatrix} i & j & k \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \end{bmatrix} \end{align*} $$

✅ 用行列式运算规则来计算叉乘结果。

P66

Eigenvalues and Eigenvectors

For a matrix \(A\), if a nonzero vector \(x\) satisfies
$$ Ax=\lambda x $$

Then:
\(\lambda\): an eigenvalue of \(A\)
\(x\): an eigenvector of \(A\)

Especially, a \(3\times 3\) orthogonal matrix \(U\)
has at least one real eigenvalue: \(\lambda=\text{det } U = ±1\)

P67

Rigid Transformation

Translation, rotation, and coordinate transformation

✅ 刚体变换不能改变形状和大小，因此没有Scaling

P69

Scaling

P70

Translation

P72

Rotation

P73

Rotation Matrix

定义

• Rotation matrix is orthogonal:

$$ R^{-1}=R^{T} \quad R^TR=RR^T=1 $$

• Determinant of \(R\)
  $$ \text{det } R = + 1 $$
• Rotation maintains length of vectors $$ ||Rx|| = ||x|| $$

✅ 公式2：\(R\) 不会改变左、右手系
✅ 公式3：\(R\) 是刚性变换，不改变大小

P75

Combination of Rotations

P76

Rotation around Coordinate Axes

$$ R_x(\alpha )=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos\alpha & -\sin \alpha \\ 0 & \sin \alpha & \cos \alpha \end{pmatrix} $$

$$ R_y(\beta )=\begin{pmatrix} \cos \beta & 0 & \sin \beta \\ 0 & 1 & 0 \\ -\sin \beta & 0 & \cos \beta \end{pmatrix} $$

$$ R_z(\gamma )=\begin{pmatrix} \cos \gamma & -\sin \gamma & 0 \\ \sin \gamma & \cos \gamma & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$

✅ 沿着哪个轴转，那个轴上的坐标不会改变。
✅ 三个基本旋转可以组合出复杂旋转。

P79

Rotation Axis and Angle

Rotation matrix \(R\) has a real eigenvalue: +1
$$ Ru=u $$

In other words, \(R\) can be considered as a rotation around axis \(u\) by some angle \(\theta \)
How to find axis 𝒖 and angle \(\theta \)?

✅ 用 \(R\) 旋转时，向量 \(u\) 不会变化。
✅ 对于任意 \(R\)，都存在这样一个 \(u\).
✅ \(u\) 是 \(R\) 的旋转轴。

P80

根据旋转矩阵求轴角

P81

✅ \({u}' \) 与 \({u} \) 共线，\({u}' \) 单位化得到 \({u} \)．
✅ \(q\) 和 \(-q\) 两种表示方法会引入插值问题，需要注意。

P82

$$ u\gets {u}' =\begin{bmatrix} r_{32}-r_{23} \\ r_{13}-r_{31} \\ r_{21}-r_{12} \end{bmatrix} $$

$$ \text{When } R\ne R^T \Leftrightarrow \sin \theta \ne 0\Leftrightarrow \theta \ne 0^{\circ} \text{ or } 180^{\circ} $$

P83

基于罗德里格公式求轴角

✅ 从 \(R\) 的公式也能得出相同的结论
✅ \(u → {u}' → \)旋转角度

P85

旋转矩阵的意义

旋转

P86

旋转 + 平移

P87

Representations of 3D Rotation

P91

旋转矩阵

Parameterization of Rotation

旋转矩阵有9个参数，但实际上degrees of freedom (DoF) = 3

✅ det 只是把空间减少一半，没有降低自由度

P93

Interpolation

What is good interpolation?

• result is valid at any time \(t\)
• Constant speed is preferred

	平移	旋转
	\(x_t=(1-t)x_0+tx_1\) ✅ 平移使用线性插值	✅ 旋转不适合线性插值。
合法	✅ 对于任意 \(t\), \(x_t\) 一定是合法的。
速度可控	✅ 运动的速度是常数，因此速度可控。

P99

结论

• Easy to compose? \(\quad \quad \quad {\color{Red} \times } \)

✅ 9个参数没有直接的意义，且为了满足正交阵，参数之间是耦合的。

• Easy to apply? \(\quad \quad \quad \quad {\color{Green} \surd }\)
• Easy to interpolate? \(\quad \quad {\color{Red} \times } \)

P100

Euler angles

Basic rotations

$$ R_x(\alpha )=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos\alpha & -\sin \alpha \\ 0 & \sin \alpha & \cos \alpha \end{pmatrix} $$

$$ R_y(\beta )=\begin{pmatrix} \cos \beta & 0 & \sin \beta \\ 0 & 1 & 0 \\ -\sin \beta & 0 & \cos \beta \end{pmatrix} $$

$$ R_z(\gamma )=\begin{pmatrix} \cos \gamma & -\sin \gamma & 0 \\ \sin \gamma & \cos \gamma & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$

combination of three basic rotations

Any rotation can be represented as a combination of three basic rotations

P102

Any combination of three basic rotations are allowed
- Excluding those rotate twice around the same axis
- XYZ, XZY, YZX, YXZ, ZYX, ZXY, XYX, XZX, YXY, YZY, ZXZ, ZYZ

P103

Conventions of Euler Angles

intrinsic rotations: axes attached to the object

$$ R_x(\alpha )R_y(\beta )R_z(\gamma ) $$

extrinsic rotations: axes fixed to the world

$$ R_z(\gamma )R_y(\beta )R_x(\alpha ) $$

✅ 使用欧拉角时应先明确所使用的 convetion 和顺序。
✅ 不同的商业软件可能有不同的内置参数。
✅ maya 和 unity 都是 extrinsic.
✅ maya 可选顺序，Unity 固定 Zxy

P104

Gimbal Lock

When two local axes are driven into a parallel configuration, one degree of freedom is “locked”

✅ 当其中两个轴共线时，会丢失一个自由度，此时表示不唯一（奇异点）

P105

结论

✅ 插值时需注意作用域为 \([-\pi , \pi ]\)，否则容易出现翻转现象。

P107

Rotation Vectors / Axis Angles

✅ 粗体 \(\theta \)：轴角表示法描述的旋转
✅ 细体 \(\theta \)：以 \(u\) 为轴的旋转角度

✅ 应用时要先转为旋转矩阵，做旋转组合时也要借助旋转矩阵

P110

Interpolating Rotation Vectors / Axis Angles

线性插值

可以保证插值结果合法，但不能保证旋转速度恒定

P111

匀速插值

可以保证插值结果合法且匀速，但旋转较复杂

✅ 这个方法没听懂，可以实现允许插值。

P112

结论

• Easy to compose? \(\quad \quad {\color{Green} \surd } \quad \quad \) But hard to manipulate
• Easy to apply? \(\quad \quad \quad {\color{Red} \times } \quad \quad \) Need to convert to matrix
• Easy to interpolate? \(\quad \quad {\color{Green} \surd } \quad \quad \) Linear interpolation works, but not perfect
• No Gimbal lock \(\quad \quad {\color{Green} \surd } \quad \quad \) need to deal with singularities

P113

Quaternions

P116

定义

• Extending complex numbers
  $$ q =a+bi +cj +dk \in \mathbb{H} ,a,b,c,d\in \mathbb{R} $$

• \(i^2=j^2=k^2=ijk=-1\)

• \(ij=k,ji=-k(^*\text{cross product})\)

• \(jk=i,kj=-i\)

• \(ki=j,ik=-j\)

$$ q=w+xi+yj+zk \quad \Rightarrow \quad q=\begin{bmatrix} w\\ x\\ y\\ z \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} w\\ v \end{bmatrix} $$

$$ q =[w,v]^T \in \mathbb{H} ,w\in \mathbb{R},v\in \mathbb{R}^3 $$

$$ w =[w,0]^T : \text{ scalar quaternion } $$

$$ v =[0,v]^T : \text{ pure quaternion } $$

P117

Quaternion Arithmetic

$$ q =a+bi +cj +dk \in \mathbb{H} ,a,b,c,d\in \mathbb{R} $$

Conjugation: \(\quad \quad q^*=a-bi-cj-dk\)
\(
\)
Scalar product: \(\quad \quad tq=ta+tbi+tcj+tdk\)
\(
\)
Addition: \(\quad \quad q_1+q_2=(a_1+a_2)+(b_1+b_2)i+(c_1+c_2)j+(d_1+d_2)k\)
\(
\)
Dot product: \(\quad \quad q_1\cdot q_2=a_1a_2+b_1b_2+c_1c_2+d_1d_2\)
\(
\)
Norm: \(\quad \quad ||q||=\sqrt{a^2+b^2+c^2+d^2} =\sqrt{q\cdot q}\)

P118

Quaternion Multiplication

$$ q_1q_2=(a_1+b_1i+c_1j+d_1k)*(a_2+b_2i+c_2j+d_2k) $$

$$ q_1q_2=a_1a_2-b_1b_2-c_1c_2-d_1d_2 $$

$$ +(b_1a_2+a_1b_2-d_1c_2+c_1d_2)i
$$

$$ +(c_1a_2+d_1b_2+a_1c_2-b_1d_2)j
$$

$$ +(d_1a_2-c_1b_2+b_1c_2+a_1d_2)k $$

note:

• \(i^2=j^2=k^2=ijk=-1\)
• \(ij=k,ji=-k (^* \text{cross product})\)
• \(jk=i,kj=-i\)
• \(ki=j,ik=-j\)

✅ \(q_1 \cdot q_2\) 和 \(q_1q_2\) 是两种不同的运算。

P120

Conjugation: \(\quad \quad q^*=[w,-v]^T\)
\(
\)
Scalar product: \(\quad \quad tq=[tw,tv]^T\)
\(
\)
Addition: \(\quad \quad q_1+q_2=[w_1+w_2,v_1+v_2]^T\)
\(
\)
Dot product: \(\quad \quad q_1\cdot q_2=w_1w_2+v_1 \cdot v_2\)
\(
\)
Norm: \(\quad \quad ||q||=\sqrt{w_1w_2+v_1 \cdot v_2} =\sqrt{q\cdot q}\)

P122

$$ q_1q_2=\begin{bmatrix} w_1\\ v_1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} w_2 \\ v_2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} w_1w_2-v_1\cdot v_2\\ w_1v_2+w_2v_1+v_1\times v_2 \end{bmatrix} $$

Non-Commutativity:

$$ q_1q_2\ne q_2q_1 $$

Associativity:

$$ q_1q_2q_3=(q_1q_2)q_3=q_1(q_2q_3) $$

P123

Conjugation:

$$ (q_1q_2)^\ast=q^\ast_2q^\ast_1 $$

Norm:

$$ ||q||^2 = q^ \ast q =qq^\ast $$

Reciprocal:

$$ \begin{matrix} qq^{-1}=1 & \Rightarrow & q^{-1}=\frac{q^*}{||q||^2}\\ q^{-1}q=1 & & \end{matrix} $$

P124

Unit Quaternions

$$ \begin{matrix} q=\begin{bmatrix} w\\ v \end{bmatrix} &||q||=1 \end{matrix} $$

For any non-zero quaternion \(\tilde{q} \):

$$ q=\frac{\tilde{q}}{||\tilde{q}||} $$

Reciprocal:

$$ \begin{matrix} q^{-1}=q^\ast =\begin{bmatrix} w\\ -v \end{bmatrix} &\Leftrightarrow & R^{-1}=R^T \end{matrix} $$

P125

2D	3D
unit complex number	unit quaternion ✅ 所有单位四元数构成 4D 空间上的单位球核。
\(z = \cos \theta + i\sin \theta\)	\(q = \begin{bmatrix} w\\v\end{bmatrix}= [\cos \frac{\theta}{2} , u\sin \frac{\theta}{2}] \quad \mid\mid u \mid\mid = 1\)

same information as axis angles \((u,\theta)\) But in a different form

P127

轴角表示 -> 四元数表示

Any 3D rotation \((v,\theta)\) can be represented as a unit quaternion

$$ \begin{matrix} \text{Angle}: & \theta =2 \text{ arg } \cos w\\ \text{ Axis}: & u=\frac{v}{||v||} \end{matrix} $$

P128

Rotation a Vector Using Unit Quaternions

已经向量p和单位四元数q，求p经过q旋转后的向量。

$$ \begin{matrix} \text{Unit quaternion}: & q=\begin{bmatrix} w\\ v \end{bmatrix}=[\cos \frac{\theta }{2} ,u\sin \frac{\theta }{2}]\\ \text{ 3D vector}:p & \text{ Rotation result }: {p}' \end{matrix} $$

Then the rotation can be applied by quaternion multiplication:

✅ 纯方向 \(p\) 可用四元数表示为 \([0 \quad p ]\)
✅ \({p}' = R (q) \cdot p\)

P129

$$ \begin{bmatrix} 0 \\ {p}' \end{bmatrix}=q\begin{bmatrix} 0\\ p \end{bmatrix}q^\ast =(-q)\begin{bmatrix} 0\\ p \end{bmatrix}(-q)^\ast $$

\(\mathbf{q}\) and \(−\mathbf{q}\) represent the same rotation

P131

Combination of Rotations

证明过程跳过，结论：

$$ \begin{matrix} \text{Combined rotation}: & q=q_2q_1 \end{matrix} $$

P133

Quaternion Interpolation

A unit hypersphere in 4D space

✅ 单位四元数表现出来是 4D 空间中的球核，\(q_1q_2\) 是球核上的两个点，希望沿球面轨迹插值。

P135

Linear Interpolation

$$ q_t=(1-t)q_0+tq_1 $$

\(q_t\) is not a unit quaternion

P136

Linear Interpolation + Projection

$$ \begin{matrix} \tilde{q}_t=(1-t)q_0+tq_1 & q_t=\frac{\tilde{q}_t }{||\tilde{q}_t||} \end{matrix} $$

$$ \begin{matrix} q_t \text{ is a unit quaternion}\\ \text{Rotational speed is not constant} \end{matrix} $$

✅ 当 \(u_0＝-u_1\) 时，可能得到某个 \(\tilde{q} _t = 0\)，无法单位化
✅ 解决方法:根据 \(u_0＝-u_0\)，先找到 \(u_0\) 和 \(u_1\) 在数值上最接近的四元数表示。

P137

SLERP: Spherical Linear Interpolation

思考

$$ q_t=a(t)q_0+b(t)q_1 $$

如何设计a和b，让插值结果速度恒定？

$$ r=a(t)p+b(t)q $$

计算

Consider the angle \(\theta\) between \(p,q\):

$$ \cos \theta =p\cdot q $$

We have:

$$ \begin{matrix} p \cdot r=a(t)p\cdot p+b(t)q\cdot p\\ \Rightarrow \cos t \theta =a(t)+b(t)\cos \theta \end{matrix} $$

similarly:

$$ \begin{matrix} q \cdot r=a(t)q\cdot p+b(t)\\ \Rightarrow \cos (1- t) \theta =a(t)\cos\theta +b(t)
\end{matrix} $$

结论

then we have：

$$ a(t)=\frac{\sin [(1-t)\theta ]}{\sin \theta } ,b(t)=\frac{\sin t \theta }{\sin \theta } $$

P139

$$ q_t=\frac{\sin [(1-t)\theta ]}{\sin \theta }q_0+\frac{\sin t \theta }{\sin \theta }q_1 $$

$$ \cos \theta=q_0\cdot q_1 $$

P140

结论

Rotations can be represented by unit quaternions

Representation is not unique

\(q, −q\) represent the same rotation

• Easy to compose? \(\quad \quad {\color{Green} \surd }\quad \quad \) Need normalization, hard to manipulate,
• Easy to apply? \(\quad \quad \quad {\color{Green} \surd }\quad \quad \) Quaternion multiplication
• Easy to interpolate? \(\quad {\color{Green} \surd }\quad \quad \) SLERP, need to deal with singularities
• No Gimbal lock \(\quad \quad \quad {\color{Green} \surd }\quad \quad \)

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角色位移控制 (Locomotion Control) 技术洞察

更新时间: 2026-03-30

范围: 2010-2025 年角色位移 (locomotion) 控制技术分析

一、概述

角色位移控制是计算机图形学、机器人学和游戏开发的核心问题，目标是生成自然、稳定、可控的角色运动（如行走、跑步、跳跃等）。

1.1 为什么 Locomotion 是一个难题？

1. 高维状态空间: 人形角色通常有 30+ 自由度
2. 强非线性动力学: 接触力、摩擦力、碰撞使系统高度非线性
3. 多模态行为: 行走、跑步、跳跃等不同步态需要不同控制策略
4. 实时性要求: 游戏/VR 应用需要 60+ FPS
5. 鲁棒性要求: 需要抵抗外部扰动、适应地形变化

1.2 技术分类：运动学 vs 动力学

二、基于运动学的方法 (Kinematics-based Methods)

核心特征：直接从数据学习动作生成，不经过物理仿真，输出为关节姿态。

2.1 技术流派总览

运动学方法经过十余年发展，形成了四大主要流派：

flowchart TB
    subgraph Phase["流派一：相位系 (Phase-based)"]
        direction TB
        PFNN["PFNN (2017)"] --> LP["Local Phases (2020)"]
        LP --> SM["Style Modelling (2020)"]
        LP --> PM["Phase Manifolds (2023)"]
    end

    subgraph Trans["流派二：RTN (Transition Generation)"]
        direction TB
        RTN["RTN (2018)"]
    end

    subgraph MM["流派三：Motion Matching 系"]
        direction TB
        MM0["Motion Matching (2019)"] --> LMM["Learned MM (2020)"]
        LMM --> MOCHA["MOCHA (2023)"]
    end

    subgraph Diff["流派四：扩散模型系"]
        direction TB
        AMDM["A-MDM (2024)"] --> CAMDM["CAMDM (2024)"]
        CAMDM --> AAMDM["AAMDM (2024)"]
        AAMDM --> DART["DART (2025)"]
    end

    style Phase fill:#e1f5fe
    style Trans fill:#fff3e0
    style MM fill:#f0f0f0
    style Diff fill:#e8f5e9

关键洞察：Local Phases (2020) 是相位系的核心分支点 —— 一支朝风格转换方向发展（Style Modelling），另一支朝相位流形插值方向发展（Phase Manifolds）。

2.2 流派一：相位系 (Phase-based Methods)

核心思想：引入相位变量 $\phi \in [0, 2\pi)$ 作为动作周期的隐式表示，用相位解耦不同动作状态或在相位空间进行插值。

演进路径：

flowchart LR
    subgraph Phase["相位表示分支"]
        PFNN --> FS["Few-shot Styles"]
        FS --> LP["Local Phases"]
        LP --> SM["Style Modelling"]
    end

    subgraph Manifold["相位流形分支"]
        LP --> PM["Phase Manifolds"]
    end

两大分支：

从演进路径可以看出，Local Phases (2020) 是核心分支点，衍生出两个方向：

统一框架：

两大分支：

从演进路径可以看出，Local Phases (2020) 是核心分支点，衍生出两个方向：

代表论文：

• PFNN (2017): 相位函数化权重
• Few-shot Locomotion Styles (2018): 残差适配器 + CP 分解，少样本风格学习
• Local Motion Phases (2020): 局部相位表示
• Style Modelling (2020): 特征变换 + 局部相位
• Phase Manifolds (2023): 相位流形插值
• RTN (2018): 循环转移网络，transition 生成

注意：MOCHA (2023) 虽然使用了 AdaIN 进行风格转换（继承自 Style Modelling），但其核心是 Neural Context Matcher 进行上下文匹配，不属于相位系，而是属于Motion Matching 系（见 2.4 节）。

注意：POMP (2023) 虽然使用相位表示，但其核心是物理一致运动生成，输出关节力矩并使用物理仿真器，属于动力学方法（见 3.8.3 节）。

2.2.1 PFNN: Phase-Functioned Neural Networks (SIGGRAPH 2017)

论文: 113.md

核心创新: 将相位从「网络输入特征」升级为「网络权重的参数化变量」

架构:

flowchart LR
    Input["输入：状态 + 控制 + 相位φ"] --> PhaseFunc["相位函数Θ(φ)"]
    PhaseFunc --> Weights["生成网络权重"]
    Weights --> Expert1["专家 1"]
    Weights --> Expert2["专家 2"]
    Weights --> Expert3["专家 3"]
    Expert1 & Expert2 & Expert3 --> Mix["混合输出"]
    Mix --> Output["输出：姿态/速度/触地"]

关键洞察:

• 相位作为权重参数，避免不同相位动作混合导致的 artifacts
• 使用 Cubic Catmull-Rom Spline 插值专家权重
• 地形数据增强：从平地 mocap 生成崎岖地形训练数据

优点:

• 相位解耦，避免 artifacts
• 仅 10MB 模型大小
• 实时 60 FPS

缺点:

• 仍需手工标注相位和步态标签
• 泛化能力有限，仅支持训练过的步态

2.2.2 Few-shot Locomotion Styles (EG 2018)

论文: 214.md

核心创新: 首个少样本风格学习框架，几秒视频即可学会新走路风格

背景: PFNN 需要大量数据训练每种新风格，但动画师通常只有几秒参考视频。

方法框架:

flowchart TB
    subgraph Stage1["第一阶段：预训练"]
        data1["8 种风格大量数据"]
        pfnn["PFNN 主干网络"]
        adapter["残差适配器"]
        agnostic["风格无关参数 β_ag"]
        specific["风格相关参数 β_s (8 套)"]
    end

    subgraph Stage2["第二阶段：少样本学习"]
        data2["新风格几秒视频"]
        freeze["冻结主干网络"]
        learn["只学习新残差适配器"]
        cp["CP 分解降维"]
    end

    data1 --> pfnn
    pfnn --> agnostic
    pfnn --> adapter
    adapter --> specific

    data2 --> learn
    freeze --> learn
    learn --> cp

    style Stage1 fill:#e1f5fe
    style Stage2 fill:#fff3e0

关键技术:

CP 分解公式:

$$ X_k = A D(k) B^T $$

• $A, B$: 与相位无关的矩形矩阵
• $D(k)$: 与相位相关的对角矩阵

训练数据:

• 预训练：8 种风格 × 23104 帧（愤怒、孩子气、沮丧、中性、老人、骄傲、性感、大摇大摆）
• 少样本：50 种新风格，每种仅 1-5 秒视频

性能:

• 推理时间：0.0011 秒/帧（约 900 FPS）
• 存储：每风格仅需 0.13MB

优点:

• 几秒视频即可学会新风格
• 支持实时生成
• 参数效率高，内存占用低

缺点:

• 仅支持 Homogeneous 迁移（走→走，不能走→跑）
• 无法处理非周期性动作
• 生成动作略平滑，丢失高频细节

与 PFNN 的继承关系:

• PFNN: 每风格单独训练，需要大量数据
• Few-shot: 添加残差适配器，风格无关参数共享

2.2.3 Local Motion Phases (SIGGRAPH 2020)

论文: 216.md

核心创新: 每个身体部位学习独立相位，支持多接触交互

背景: PFNN 的全局相位假设所有部位同步运动，无法处理多接触动作（如手扶墙、脚踩台阶）。

全局相位 vs 局部相位:

局部相位表示:

$$ \phi = {\phi_{left_foot}, \phi_{right_foot}, \phi_{left_hand}, \phi_{right_hand}, ...} $$

与 PFNN 的继承关系:

• PFNN: 全局相位，需手动标注
• Local Phases: 局部相位，无监督学习
• 共同点：相位作为解耦变量

优点:

• 支持多接触交互
• 相位自动学习
• 异步运动建模

缺点:

• 相位数量固定
• 新接触类型需要训练

2.2.4 Style Modelling: 特征变换与局部相位 (SIGGRAPH 2020)

论文: 211.md

核心创新: Feature-Wise Transformations + Local Motion Phases

架构:

flowchart LR
    motion["输入动作 x"] --> Enc["动作编码器"]
    style["风格代码 z"] --> StyleEnc["风格编码器"]
    Enc --> FWT["Feature-Wise Transformation"]
    StyleEnc --> FWT
    FWT --> Dec["动作解码器"]
    Dec --> out["风格化动作 y"]

AdaIN 公式:

$$ \text{AdaIN}(x, z) = \sigma(z) \cdot \frac{x - \mu(x)}{\sigma(x)} + \mu(z) $$

Local Motion Phases vs 全局相位:

与 PFNN 的继承关系:

• PFNN: 全局相位，适用于 locomotion
• Style Modelling: 局部相位，适用于更复杂动作
• 继承：相位作为解耦变量的思想

优点:

• 实时 60+ FPS
• 支持多种风格平滑过渡
• 少样本风格学习

缺点:

• 仅适用于 locomotion
• 极端风格可能失真

2.2.5 Phase Manifolds: 相位流形插值 (2023)

论文: 212.md

核心创新: 使用 Periodic Autoencoder 学习相位变量，在相位流形空间进行插值生成过渡动作

注意: 虽然本论文与 Style Modelling (211) 同样使用局部相位表示，但其核心是相位流形插值用于 transition 生成，与 POMP (112) 的物理一致运动生成不同，本论文属于运动学相位系。

架构:

flowchart TB
    start["起始帧 s"] --> PAE["Periodic<br/>Autoencoder"]
    target["目标帧 t"] --> PAE
    duration["过渡时长 T"] --> Interp["相位流形插值"]
    PAE --> PhaseS["起始相位φ_s"]
    PAE --> PhaseT["目标相位φ_t"]
    PhaseS --> Interp
    PhaseT --> Interp
    Interp --> MoE["Mixture of Experts"]
    MoE --> Motion["过渡动作序列"]

相位流形约束:

• 相位在单位圆上：$\phi \in [0, 2\pi)$
• 周期性：$\phi(t) = \phi(t + T)$
• 流形插值：$\phi_t = \text{slerp}(\phi_s, \phi_t, t)$（球面线性插值）

与 Style Modelling 的关系:

• 共同点: 都使用局部相位表示解耦身体部位
• 差异: Style Modelling 用于风格转换，Phase Manifolds 用于过渡生成

与 POMP 的差异:

• Phase Manifolds (212): 运动学过渡生成，输出关节位置
• POMP (112): 物理一致运动生成，输出关节力矩 + 物理仿真

优点:

• 生成自然流畅的过渡
• 支持用户约束（end effector 位置）
• 多样化过渡生成

缺点:

• 依赖训练数据
• 长过渡质量下降
• 无法处理物理交互

2.3 流派二：RTN: Recurrent Transition Networks (SIGGRAPH 2018)

论文: 210.md

核心创新: 首个专门为 transition 生成设计的未来感知（future-aware）深度循环网络

背景: 在大型游戏中，动画图（Animation Graph）需要大量 transition 动画。传统方法的问题：

• 手工制作 transition 非常耗时：动画师需要手动制作大量的过渡动画
• 内存占用大：Motion Graph 方法需要将动画数据和图结构加载到内存中
• 扩展性差：随着数据集增大，内存需求线性增长
• 需要标注：很多方法需要 gait、phase、contact 等标签

方法框架:

flowchart TB
    past["过去上下文<br/>10 帧"] --> Enc["Frame Encoder"]
    target["目标姿态<br/>归一化"] --> TargetEnc["Target Encoder"]
    offset["全局偏移<br/>目标 - 当前"] --> OffsetEnc["Offset Encoder"]

    Enc --> LSTM["改进的 LSTM<br/>512 单元"]
    TargetEnc --> LSTM
    OffsetEnc --> LSTM

    LSTM --> Dec["Frame Decoder"]
    Dec --> out["下一帧预测"]

    style Enc fill:#e1f5fe
    style LSTM fill:#fff3e0
    style Dec fill:#e8f5e9

核心架构:

改进的 LSTM:

$$i_t = \alpha(W^{(i)}h^E_t + U^{(i)}h^R_{t-1} + C^{(i)}h^{F,O}t + b^{(i)})$$ $$o_t = \alpha(W^{(o)}h^E_t + U^{(o)}h^R{t-1} + C^{(o)}h^{F,O}t + b^{(o)})$$ $$f_t = \alpha(W^{(f)}h^E_t + U^{(f)}h^R{t-1} + C^{(f)}h^{F,O}_t + b^{(f)})$$ $$\hat{c}t = W^{(c)}h^E_t + W^{(c)}h^R{t-1} + C^{(c)}h^{F,O}t + b^{(c)}$$ $$c_t = f_t \odot c{t-1} + i_t \odot \tau(\hat{c}_t)$$ $$h^R_t = o_t \odot \tau(c_t)$$

关键设计:

• 添加了 $C^{(\cdot)}$ 权重用于未来上下文条件化
• Hidden State 初始化器：学习逆函数 $H(x_{past_first}) \to (h_0, c_0)$
• 地形感知：通过局部高度图（13×13 网格）实现崎岖地形导航

数据表示:

• 根节点相对位置：$\tilde{x}t = [v_t, j^t_1, ..., j^t{K-1}]^T$
• 根节点速度：$v_t = r_t - r_{t-1}$
• 标准化：$x_t = (\tilde{x}_t - \mu_x) / \sigma_x$

训练细节:

• Transition 长度：30 帧（1 秒）
• Past context：10 帧
• Future context：2 帧（目标姿态）
• 总窗口长度：50 帧
• 损失函数：$\mathcal{L} = \frac{1}{P} \sum_{t=1}^{P} ||x_{t+1} - \hat{x}_{t+1}||^2$
• 无需任何 gait、phase、contact 或 action 标签

优点:

• 自动生成高质量 transition，无需手工制作
• 固定大小的网络，内存占用恒定
• 无需任何标注即可训练
• 质量媲美 Mocap ground truth

缺点:

• Transition 长度固定，需要预设
• 自回归生成，推理速度取决于长度
• 无法处理复杂障碍物

与 PFNN 的对比:

• PFNN：相位条件化，生成连续 locomotion
• RTN：transition 专用，连接两个状态
• PFNN 需要相位标注，RTN 无需标注

应用场景:

1. Animation Graph 的 transition 节点：替代手工制作的过渡动画
2. 动画超分辨率：从 1fps 压缩动画恢复
3. 地形导航：崎岖地形上的长 transition

2.4 流派三：Motion Matching 系

核心思想：从动作数据库搜索/预测最匹配当前状态的帧。

演进路径：

flowchart LR
    MM["Motion Matching (2019)<br/>工业标准"] --> LMM["Learned Motion Matching (2020)<br/>神经网络替代"]
    LMM --> MOCHA["MOCHA (2023)<br/>角色化扩展"]

Motion Matching 核心流程：

1. 提取当前帧特征（姿势、速度、轨迹）
2. 在数据库中搜索最近邻
3. 返回对应帧并推进索引

Learned Motion Matching 创新：用三个神经网络替代数据库搜索，固定内存占用。

MOCHA 扩展：在 Learned Motion Matching 基础上，增加 Neural Context Matcher 实现角色风格转换和体型适配。

2.4.1 Learned Motion Matching (SIGGRAPH 2020)

论文: 208.md

核心创新: 用三个神经网络替代 Motion Matching 的数据库搜索

背景: Motion Matching 是游戏工业标准，但需要存储海量动画数据库，内存占用随数据量线性增长。

三网络功能:

优点:

• 保留 Motion Matching 的质量和可控性
• 固定内存占用（网络权重），不随数据量增长
• 已应用于多个 AAA 游戏

缺点:

• 训练时间比原始 Motion Matching 长
• 网络预测 vs 精确搜索有轻微质量损失

2.4.2 MOCHA: Real-Time Motion Characterization (SIGGRAPH Asia 2023)

论文: 209.md

核心创新: 首个实时角色表征框架，同时转换动作风格和身体比例

背景: 将中性动作转换为特定角色风格（如僵尸、公主、小丑），同时适配不同体型。

架构:

flowchart TB
    src["Source Motion<br/>中性动作"] --> BodyEnc["Bodypart Encoder<br/>6 身体部位"]
    BodyEnc --> SrcFeat["Source Feature"]
    SrcFeat --> NCM["Neural Context Matcher<br/>C-VAE + 自回归"]
    NCM --> CharFeat["Character Feature"]
    CharFeat --> Charz["Characterizer<br/>Transformer+AdaIN"]
    SrcFeat --> Charz
    Charz --> OutFeat["Translated Feature"]
    OutFeat --> Output["Characterized Motion"]

AdaIN 公式:

$$ \text{AdaIN}(z_{src}, z_{cha}) = \sigma(z_{cha}) \cdot \frac{z_{src} - \mu(z_{src})}{\sigma(z_{src})} + \mu(z_{cha}) $$

NCM Prior:

$$ p(s_i | z_{i-1}^{cha}, f(z_i^{src})) = \mathcal{N}(\mu, \sigma) $$

与 Style Modelling 的继承关系:

• Style Modelling: AdaIN 用于风格转换
• MOCHA: AdaIN + Transformer，同时处理风格 + 体型

优点:

• 实时 60 FPS
• 同时处理风格转换 + 身体比例适配
• 支持稀疏输入（VR tracker）

缺点:

• 训练数据中的角色有限，新角色需重新训练
• 极端风格可能失真

2.5 流派四：扩散模型系 (Diffusion-based Methods)

核心挑战：标准扩散模型需要 1000 步去噪，无法满足实时性要求（60 FPS）。

演进路径：

flowchart TB
    DM["标准扩散模型<br/>1000 步去噪"] --> AMDM["A-MDM (2024)<br/>自回归 +50 步"]
    DM --> CAMDM["CAMDM (2024)<br/>8 步 + 风格转换"]
    DM --> AAMDM["AAMDM (2024)<br/>5 步 DD-GAN+ADM"]
    AMDM --> DART["DART (2025)<br/>Latent Space Control"]

    subgraph 加速演进
    AMDM -.->|50 步 | CAMDM
    CAMDM -.->|8 步 | AAMDM
    AAMDM -.->|5 步 | DART
    end

加速策略对比：

2.5.1 A-MDM: Auto-regressive Motion Diffusion Model (SIGGRAPH 2024)

论文: 206.md

核心创新: 将扩散模型从 space-time 重新设计为 auto-regressive

自回归公式:

$$ p(x_{1:T}) = \prod_{t=1}^{T} p(x_t | x_{1:t-1}) $$

架构: 简单 3 层 MLP，50 步去噪

控制套件:

• Task-oriented sampling
• Motion in-painting
• Keyframe in-betweening
• Hierarchical reinforcement learning

与 CAMDM 的差异:

• A-MDM: 强调控制套件，MLP 架构
• CAMDM: 强调风格转换，Transformer 架构

2.5.2 CAMDM: Conditional Autoregressive Motion Diffusion Model (SIGGRAPH 2024)

论文: 207.md

核心创新: 8 步去噪实现实时高质量多样角色动画

关键技术:

条件输入:

• 风格/步态
• 移动速度
• 朝向方向
• 未来轨迹

优点:

• 8 步去噪 ≈ 几毫秒，60+ FPS
• 支持多风格平滑转换
• 无需微调实现风格转换

缺点:

• 8 步去噪仍有优化空间
• 依赖 mocap 数据

2.5.3 AAMDM: Accelerated Auto-regressive Motion Diffusion Model (CVPR 2024)

论文: 204.md

核心创新: 5 步去噪 (3 DD-GAN + 2 ADM)

架构:

Autoencoder: 338D pose → 64D latent
      ↓
Generation Module: DD-GANs (3 步)
      ↓
Polishing Module: ADM (2 步)
      ↓
输出：高质量动作

总去噪步数: $T_{AA} = T_{GAN} + T_{ADM} = 3 + 2 = 5$

与 CAMDM 的差异:

• CAMDM: 8 步，强调风格转换
• AAMDM: 5 步，强调加速

2.5.4 DARTControl: Diffusion-based Autoregressive Motion Model (ICLR 2025)

论文: 205.md

核心创新: Motion Primitive 表示 + Latent Space Control

Motion Primitive:

• H=2 帧历史（与前一 primitive 重叠）
• F=8 帧未来

Latent Space Control 方法:

1. 优化方法: latent noise optimization
2. 学习方法: MDP + RL (PPO)

优势: 10x 加速 vs FlowMDM

与 A-MDM 的差异:

• A-MDM: 原始空间扩散
• DART: Latent 空间扩散，更高效

2.6 运动学方法总结

四大流派核心思想对比

流派选择指南

flowchart TD
    Q1["需要什么类型的控制？"] --> |风格转换 | A1["MOCHA / CAMDM / Style Modelling"]
    Q1 --> |稀疏输入 VR | A2["PFNN / MOCHA"]
    Q1 --> |高质量多样性 | A3["CAMDM / DART"]
    Q1 --> |低内存占用 | A4["Learned Motion Matching"]
    Q1 --> |transition 生成 | A5["RTN / Phase Manifolds"]
    Q1 --> |少样本学习 | A6["Few-shot Styles"]

运动学方法详细对比

2.7 常见问题解答 (FAQ)

Q1: 相位系的发展脉络是什么？

相位系是一个统一的方法论，其核心思想是引入相位变量 $\phi \in [0, 2\pi)$ 作为动作的解耦表示，通过相位来参数化网络权重或作为条件输入，避免不同动作状态的混合导致 artifacts。

统一演进框架：

关键洞察：

• Local Phases (2020) 是核心分支点，同时影响了 Style Modelling（风格转换）和 Phase Manifolds（过渡生成）两个方向
• 相位系内部的区别仅在于相位的使用方式（全局 vs 局部、解耦 vs 流形插值），但核心思想统一

注意：POMP (2023) 虽然使用相位表示，但其核心是物理一致运动生成，输出关节力矩并使用物理仿真器，属于动力学方法（见 3.8.3 节）。

Q2: MOCHA 属于哪个流派？

MOCHA 属于 Motion Matching 系，而不是相位系。理由如下：

MOCHA 的核心贡献：

1. Neural Context Matcher: 用 C-VAE + 自回归生成替代数据库搜索
2. Characterizer: 用 AdaIN + Cross-Attention 实现风格转换和体型适配

注意：MOCHA 虽然使用了 AdaIN（继承自 Style Modelling），但这只是风格注入的工具，其核心架构是基于上下文匹配的，因此属于 Motion Matching 系。

Q3: RTN 属于什么系？

RTN 不属于任何主要流派，它是一个专用场景方法：

RTN 的定位：

• RTN 是一个特殊的存在，专门处理游戏动画图中的transition 生成问题
• 它不属于相位系（无需相位）、不属于 Motion Matching 系（不用搜索）、不属于扩散模型系（2018 年工作）
• 在流派选择指南中，RTN 作为"transition 生成"的专用方案被推荐

三、基于动力学的方法 (Dynamics-based Methods)

核心特征: 输出为关节力矩或 PD 控制目标，需要物理仿真器执行。

3.1 技术演进时间线

timeline
    title 动力学方法发展时间线
    2010 : Feature-Based : 高层物理特征
    2017 : DeepLoco : 分层 RL+ 环境感知
    2018 : DeepMimic : RL+ 模仿
    2018 : Mode-Adaptive : 四足统一控制
    2019 : DReCon : MM+RL
    2021 : AMP : 对抗运动先验
    2022 : ASE : 预训练技能库
    2023 : ControlVAE : 状态条件先验
    2023 : Perpetual : 实时虚拟化身
    2023 : UniRep : 统一表示 + 蒸馏
    2024 : PDP/DiffuseLoco : 扩散策略
    2024 : MaskedMimic : 掩码运动补全
    2025 : PARC : 迭代数据扩增
    2025 : UniPhys : 统一规划 + 控制

3.2 核心思想继承关系

动力学方法经过十余年发展，形成了四条主要演进主线：

flowchart TB
    subgraph RL["RL lineage"]
        FB["Feature-Based"] --> DL["DeepLoco"]
        DL --> DM["DeepMimic"]
        DM --> AMP["AMP"]
        AMP --> ASE["ASE"]
    end

    subgraph Hybrid["Hybrid lineage"]
        DL --> DReCon["DReCon<br/>MM+RL"]
        DM --> DReCon
        DReCon --> PDP["PDP<br/>RL 专家蒸馏"]
    end

    subgraph Pretrain["Pretraining lineage"]
        ASE --> CVAE["ControlVAE"]
        ASE --> UniRep["Universal Representation"]
    end

    subgraph Diffusion["Diffusion lineage"]
        PDP --> DiffuseLoco["DiffuseLoco"]
        ASE --> MaskedMimic["MaskedMimic"]
        MaskedMimic --> UniPhys["UniPhys"]
        DReCon --> PARC["PARC<br/>迭代扩增"]
    end

四条演进主线详解

关键洞察：

• DeepLoco (2017) 是分层 RL 的开创者，首次实现环境感知（32×32 高度图）+ 双控制器架构（HLC 规划 + LLC 执行）
• DeepMimic (2018) 是深度学习时代的起点，首次证明 RL+ 模仿可以学习高质量动态动作（后空翻、旋转）
• AMP (2021) 解决数据标注问题，从需要精确跟踪 → 无标注对抗学习
• ASE (2022) 解决技能复用问题，预训练的技能库可以微调至下游任务
• DReCon (2019) 开创混合控制范式，生成器 (MM) + 跟踪器 (RL) 的架构被 PDP/PARC 继承
• 2024 年趋势：扩散模型成为主流（DiffuseLoco、MaskedMimic、UniPhys、PARC）

3.3 主线一：RL 模仿学习 (RL Lineage)

演进路径: Feature-Based Control (2010) → DeepLoco (2017) → DeepMimic (2018) → AMP (2021) → ASE (2022)

3.3.1 Feature-Based Control (SIGGRAPH 2010)

论文: 200.md

核心思想: 用高层物理特征设计控制器

方法框架:

flowchart LR
    Define["定义特征"] --> Obj["设计目标函数"]
    Obj --> Priority["优先级优化"]
    Priority --> Solve["求解关节力矩τ"]

关键公式:

• Setpoint 目标：$E(x) = ||\ddot{y}_d - \ddot{y}||^2$
• 角动量目标：$E_{AM}(x) = ||\dot{L}_d - \dot{L}||^2$
• 优先级优化：$h_i = \min_x E_i(x)$ s.t. $E_k(x) = h_k, \forall k < i$

优点: 可解释、无需数据 缺点: 实现复杂、动态性差

3.3.2 DeepLoco (SIGGRAPH 2017)

论文: 218.md

核心创新: 分层深度强化学习 + 环境感知

方法框架:

flowchart TB
    Terrain["32×32 地形图"] --> HLC["高层控制器 HLC<br/>2Hz 规划步法"]
    HLC -->|"p̂₀, p̂₁, θ̂_root"| LLC["低层控制器 LLC<br/>30Hz 执行动作"]
    LLC --> PD["PD 控制器"]
    PD --> Sim["物理仿真"]

分层架构:

关键技术:

• 双线性相位变换: 将相位φ分 4 区间，强制不同阶段用不同子网络
• 参考动作引导: 不精确跟踪，只模仿风格
• 迁移学习: 同一 LLC 可复用多个 HLC 任务

优点: 环境感知、多任务支持、组件可复用 缺点: 训练时间长 (LLC 2 天+HLC 7 天)、采样效率低

3.3.3 DeepMimic (SIGGRAPH 2018)

论文: 201.md

核心创新: 深度 RL + 模仿学习

方法框架:

flowchart LR
    Mocap["参考动作 mocap"] --> Reward["定义奖励 r^I+r^G"]
    Reward --> PPO["PPO 训练π(a|s)"]
    PPO --> PD["PD 控制器执行"]
    PD --> Sim["物理仿真"]

模仿奖励:

$$ r^I_t = w_p r^p_t + w_v r^v_t + w_e r^e_t + w_c r^c_t $$

训练技巧:

• RSI (Reference State Initialization): 从参考动作随机状态开始
• ET (Early Termination): 跌倒立即终止
• 相位条件化: $\phi_t = (t \mod T_{cycle}) / T_{cycle}$

优点: 动作质量高、可学习动态动作 缺点: 每技能单独训练、样本效率低

3.4 主线二：混合控制 (Hybrid Lineage)

演进路径: DReCon (2019) → PDP (2024) → PARC (2025)

核心思想: 生成器（选择/生成参考轨迹）+ RL 跟踪器（保证物理稳定性）。

3.4.1 DReCon (SIGGRAPH Asia 2019)

论文: 190.md

核心架构:

flowchart LR
    MM["Motion Matching"] --> RL["RL 规划"]
    RL --> PD["PD 执行"]
    PD --> Sim["物理仿真"]
    Sim --> MM

创新点:

• 用 Motion Matching 替代 mocap 参考轨迹
• RL 输出 PD 目标而非直接力矩
• 支持实时响应

与 DeepMimic 的差异:

• DeepMimic: 跟踪单一 mocap 片段
• DReCon: 用 Motion Matching 选择参考轨迹

3.3.3 AMP: Adversarial Motion Priors (SIGGRAPH 2021)

论文: 198.md

核心创新: 用对抗学习从无标注数据学习

方法框架:

flowchart LR
    Data["无标注 mocap"] --> D["判别器 D(s,s')"]
    D --> Policy["策略π"]
    Policy --> Adv["对抗奖励-log(1-D)"]
    Adv --> Policy

对抗奖励:

$$ r_{adv} = -\log(1 - D(s_t, s_{t+1})) $$

AMP 的核心优势:

1. 无需精确跟踪参考动作
2. 能够从多样化数据集学习
3. 自动学习技能组合

局限性:

• 训练不稳定（对抗博弈）
• GAN+RL 训练难度大

3.3.4 ASE: Adversarial Skill Embeddings (SIGGRAPH 2022)

论文: 199.md

核心创新: 预训练通用技能库 + 下游微调

两阶段训练:

flowchart TB
    subgraph PreTrain["阶段 1: 预训练"]
        Data["无标注数据集"] --> LowPolicy["低级策略π(a|s,z)"]
        Data --> Discriminator["对抗 + 互信息"]
    end

    subgraph TaskTrain["阶段 2: 任务训练"]
        Goal["任务目标 g"] --> HighPolicy["高级策略ω(z|s,g)"]
        LowPolicyFixed["低级策略 (固定)"] --> Output["输出动作 a"]
        HighPolicy --> LowPolicyFixed
    end

    PreTrain --> TaskTrain

预训练目标:

$$ \max_{\pi} -D_{JS}(d_{\pi} || d_M) + \beta I(s, s'; z | \pi) $$

与 AMP 的差异:

• AMP: 每任务从头训练
• ASE: 预训练可复用，技能库学习

优点: 技能可复用、支持插值和组合 缺点: 需要大规模并行模拟（Isaac Gym）

3.5 特殊应用：四足动物控制 (Mode-Adaptive)

论文: 213.md

核心创新: 单个神经网络处理多种四足动物步态

架构:

flowchart TB
    state["角色状态"] --> ModeEst["Mode 估计"]
    cmd["用户命令"] --> ModeEst
    terrain["地形信息"] --> ModeEst
    ModeEst --> Adaptive["Adaptive 权重"]
    state --> Control["控制器"]
    cmd --> Control
    Adaptive --> Control
    Control --> Action["关节目标"]

优点:

• 流畅的步态切换
• 适应不同地形
• 自然运动质量

缺点:

• 仅适用于四足动物
• 需要 mocap 数据

3.6 主线三：预训练与统一表示 (Pretraining Lineage)

演进路径: ControlVAE (2023) → UniRep (2023) → MaskedMimic (2024) → UniPhys (2025)

3.6.1 ControlVAE (TOG 2023)

论文: 202.md

核心创新: 状态条件先验 + 世界模型

与 ASE 对比: | 维度 | ASE | ControlVAE | |------|-----|------------| | 先验类型 | 球面均匀分布 | 状态条件高斯 | | 学习方式 | 对抗 + 互信息 | 世界模型 + ELBO | | 技能表示 | 离散技能库 | 连续潜在空间 |

3.6.2 UniRep: Universal Humanoid Motion Representations (2023)

论文: 191.md

核心创新: 建立 Prior + Distillation + RL 的标准范式，用 CVAE 学习动作先验，再蒸馏进物理稳定的 Decoder

三阶段训练:

flowchart TB
    Mocap["MoCap 数据"] --> CVAE["CVAE 训练"]
    CVAE --> Prior["动作先验 z"]

    TO["轨迹优化器"] --> Stable["物理稳定轨迹"]
    Stable --> Distill["蒸馏到 Decoder"]

    Prior --> RL["高层 RL"]
    Distill --> RL

核心困境解决:

• MoCap 生成模型：动作自然但物理不稳定
• 纯轨迹优化：物理稳定但动作单调

方案: 用蒸馏将物理稳定性灌进网络，保留 z 的多样性

优点:

• 定型并普及了 Prior + Distillation + RL 的标准流水线
• 动作自然性与物理稳定性兼顾

缺点:

• 能力上限受限于轨迹优化器的求解能力
• 仅覆盖简单 Locomotion（走、跑、转向等）

3.7 特殊应用：实时虚拟化身 (Perpetual)

论文: 196.md

核心创新: 实时虚拟化身控制系统

系统架构:

flowchart LR
    Input["视频/动捕/控制信号"] --> MotionGen["运动生成"]
    MotionGen --> Track["物理跟踪控制器"]
    Track --> Output["物理稳定全身控制"]
    Output --> Disturb["扰动恢复"]
    Disturb --> Track

特点:

• Meta 出品，面向 VR/AR 应用
• 实时优先，支持多种输入源
• 物理感知保证可行性

定位: 实时系统应用，不属于上述演进主线

3.8 主线四：扩散策略 (Diffusion Lineage)

演进路径: DiffuseLoco (2024)

核心思想: 使用扩散模型学习物理一致的控制策略。

3.8.1 DiffuseLoco (2024)

论文: 195.md

方法框架:

flowchart LR
    Data["离线 mocap"] --> Diff["扩散模型π(a|s,goal)"]
    Diff --> Distill["蒸馏 RL 策略"]
    Distill --> Control["实时控制"]

优点: 离线训练、无需在线 RL

3.8.2 POMP: Physics-consistent Motion Prior (CVPR 2024)

论文: 112.md

核心创新: 基于相流形的物理一致运动先验，将动力学模块置于训练循环外

注意: POMP 虽然使用相位表示（类似相位系），但其核心是物理一致的运动生成，输出关节力矩并使用物理仿真器，因此属于动力学方法而非运动学相位系。

架构:

flowchart TB
    subgraph Input["输入"]
        state["角色状态 + 地形 + 轨迹"]
    end

    subgraph Kinematic["运动学模块"]
        MoE["OrthoMoE Encoder"]
        Diff["Diffusion Decoder"]
    end

    subgraph Dynamic["动力学模块"]
        IK["逆动力学 PD 控制"]
        FK["前向动力仿真"]
    end

    subgraph Phase["相位编码模块"]
        PAE["Periodic Autoencoder"]
        Align["语义对齐"]
    end

    Input --> MoE
    MoE --> Diff
    Diff --> IK
    IK --> FK
    FK --> Align
    Align --> PAE
    PAE --> MoE

    style Kinematic fill:#e1f5fe
    style Dynamic fill:#fff3e0
    style Phase fill:#e8f5e9

三模块协作:

1. 运动学模块: 基于扩散的运动先验生成初始姿态
2. 动力学模块: 物理仿真确保物理合理性（接触力、碰撞）
3. 相位编码模块: 将仿真姿态投影回运动先验的相流形

关键洞察:

• 直接反馈仿真结果会导致误差累积
• 相流形中的语义对齐解决领域鸿沟问题
• 动力学模块在训练循环外，计算高效

优点:

• 物理一致的运动生成
• 实时响应物理扰动
• 计算高效（动力学模块在训练循环外）

缺点:

• 依赖地形和冲量数据提取
• 复杂交互质量受限

3.8.3 PDP: Physics-Based Character Animation via Diffusion Policy (2024)

论文: 192.md

核心: RL 专家蒸馏 + 扩散策略

两阶段训练:

1. 训练多个单任务 RL 专家
2. 离线行为克隆蒸馏到单一 Diffusion Policy

与 DReCon 的继承关系:

• DReCon: Motion Matching + RL
• PDP: RL 专家 + Diffusion Policy

3.8.4 MaskedMimic (SIGGRAPH Asia 2024)

论文: 183.md

核心创新: 掩码运动补全统一多模态控制

CVAE 架构:

• 输入：多模态控制信号（掩码关键帧、对象、文本等）
• 输出：物理一致的 PD 控制目标

特点:

• 无需奖励工程
• 支持无缝任务切换
• 实时响应能力

与 UniPhys 的对比:

• MaskedMimic: 掩码补全范式
• UniPhys: Diffusion Forcing 范式

3.8.5 PARC (SIGGRAPH 2025)

论文: 189.md

核心创新: 基于物理仿真的迭代数据扩增框架

迭代循环:

flowchart TB
    Gen["Motion Generator<br/>扩散模型"] --> Synth["合成新地形轨迹"]
    Synth --> Track["Motion Tracker<br/>RL 物理修正"]
    Track --> Filter["质量筛选"]
    Filter --> Dataset["数据集扩增"]
    Dataset --> Gen

四项关键机制防止性能退化:

1. 固定采样比例: 保留原始 mocap 作为监督锚点
2. 物理约束修正: RL 控制器修正为物理可信运动
3. 质量筛选: 仅保留成功样本
4. 小步迭代: 微调策略，防止分布漂移

应用场景: 敏捷地形穿越（如跑酷）

与 DReCon 的继承关系:

• DReCon: Motion Matching + RL 跟踪
• PARC: 扩散生成 + RL 跟踪 + 迭代扩增

3.8.6 UniPhys (2025)

论文: UniPhys: Unified Planner and Controller with Diffusion (2025)

核心创新: 统一规划器 + 控制器，Diffusion Forcing 范式

方法框架:

flowchart LR
    Mocap["mocap 数据"] --> Preprocess["PD 控制预处理"]
    Preprocess --> GT["物理合理 GT<br/>动作略僵硬"]
    GT --> Train["训练 Diffusion 模型"]
    MultiModal["多模态输入<br/>文本/轨迹/目标"] --> Infer["引导采样推理"]
    Train --> Infer
    Infer --> Output["物理合理运动"]

与 MaskedMimic 对比: | 维度 | MaskedMimic | UniPhys | |------|-------------|---------| | 训练范式 | 掩码补全 | Diffusion Forcing | | PD 目标来源 | mocap+ 跟踪 | mocap+PD 预处理 | | 长序列处理 | 较短序列 | 噪声历史去噪 |

优点:

• 无需强化学习和蒸馏
• 训练简单，单模型推理
• 物理合理但动作略僵硬

3.9 动力学方法对比

四、运动学 vs 动力学：技术选型指南

4.1 核心差异

4.2 思想演进总结

运动学方法演进主线

1. 相位表示线 (PFNN → Style Modelling → MOCHA → Phase Manifolds)

   • 核心思想：用相位解耦不同动作状态
   • 演进：全局相位 → 局部相位 → 相位流形插值

2. Motion Matching 线 (MM → Learned MM → MOCHA)

   • 核心思想：用数据搜索生成动作
   • 演进：数据库搜索 → 神经网络预测 → 角色化扩展

3. 扩散模型线 (A-MDM → CAMDM → AAMDM → DART)

   • 核心思想：扩散模型高质量生成
   • 演进：1000 步 → 50 步 → 8 步 → 5 步，同时支持实时控制

动力学方法演进主线

1. RL 模仿线 (DeepMimic → AMP → ASE)

   • 核心思想：从 mocap 数据学习控制策略
   • 演进：单技能跟踪 → 对抗先验 → 预训练技能库

2. 混合控制线 (DReCon → PDP → PARC)

   • 核心思想：生成器 + RL 跟踪
   • 演进：Motion Matching → RL 专家 → 扩散模型 + 迭代扩增

3. 统一表示线 (ControlVAE → UniRep → MaskedMimic → UniPhys)

   • 核心思想：统一潜在空间表示
   • 演进：状态条件先验 → Prior+ 蒸馏 → 掩码补全 → Diffusion Forcing

4.3 应用场景推荐

4.4 方法选择决策树

flowchart TD
    Q1["需要物理仿真/抗扰动？"] --> |否 | A1["运动学方法"]
    Q1 --> |是 | A2["动力学方法"]

    A1 --> Q2["需要风格转换？"]
    Q2 --> |是 | A3["MOCHA / Style Modelling / CAMDM"]
    Q2 --> |否 | A4["PFNN / Learned MM / AAMDM"]

    A2 --> Q3["有无标注数据？"]
    Q3 --> |无 | A5["AMP / ASE"]
    Q3 --> |有 | A6["DeepMimic / DiffuseLoco"]

    A6 --> Q4["需要多模态控制？"]
    Q4 --> |是 | A7["MaskedMimic / UniPhys"]
    Q4 --> |否 | A8["PDP / DiffuseLoco"]

    A2 --> Q5["需要敏捷地形穿越？"]
    Q5 --> |是 | A9["PARC"]

五、开放性问题与未来趋势

5.1 技术挑战

1. 实时性与质量权衡

   • 扩散模型推理速度仍是瓶颈
   • 方向：一致性模型、蒸馏、更少去噪步数

2. 长时序规划

   • 当前方法多为短时域反应式
   • 方向：分层控制、世界模型、Diffusion Forcing

3. 多角色泛化

   • 技能绑定特定形态
   • 方向：形态无关表示、零样本迁移

4. 与语言模型结合

   • 自然语言指令驱动
   • 方向：LLM + 运动生成联合训练

5. 在线适应

   • 适应新环境、新扰动
   • 方向：Test-Time Training、元学习、迭代扩增（如 PARC）

5.2 未来趋势

1. 运动学 + 动力学融合

   • 运动学方法生成参考轨迹
   • 动力学方法保证物理可行性
   • 代表工作：UniPhys、PARC

2. 世界模型 + 扩散

   • 学习可微物理引擎
   • 在 latent space 规划

3. 多模态大模型

   • 视觉 + 语言 + 运动联合训练
   • 具身智能 (Embodied AI)

4. 自动技能发现

   • 无监督发现技能层级
   • 类似 LLM 的 emergent abilities

5. 数据高效学习

   • 少样本风格学习
   • 迭代数据扩增（PARC 范式）

六、关键论文索引

运动学方法

动力学方法

七、总结

角色位移控制领域呈现双轨并行、多线演进的发展态势：

运动学方法沿四大主线演进：

1. 相位系：PFNN 的相位函数化权重 (2017) → Few-shot Styles 的残差适配器 +CP 分解 (2018) → Local Motion Phases 的局部相位 (2020) → Style Modelling 的特征变换 (2020) → Phase Manifolds 的相位流形插值 (2023)
2. RTN (Transition Generation): 循环转移网络 (2018)，专用 transition 生成
3. Motion Matching 系：工业界标准 Motion Matching → Learned Motion Matching 的神经网络替代 → MOCHA 的上下文匹配角色化
4. 扩散模型系：A-MDM 的自回归设计 → CAMDM 的 8 步去噪 + 风格转换 → AAMDM 的 5 步加速 → DART 的潜在空间控制

动力学方法沿三条主线演进：

1. RL 模仿线：DeepMimic 的 RL+ 模仿 → AMP 的对抗先验 → ASE 的预训练技能库
2. 混合控制线：DReCon 的 Motion Matching+RL → PDP 的 RL 专家蒸馏 → PARC 的扩散生成 + 迭代扩增
3. 统一表示线：ControlVAE 的状态条件先验 → UniRep 的 Prior+ 蒸馏范式 → MaskedMimic 的掩码补全 → UniPhys 的 Diffusion Forcing

融合趋势：2024-2025 年的工作开始探索运动学 + 动力学的融合：

• UniPhys 用 PD 预处理保证物理合理性
• PARC 用迭代扩增结合生成与物理修正
• Perpetual 实现实时物理跟踪

这将是未来的重要方向。

参考文献: 详见各论文笔记文件

本文出自CaterpillarStudyGroup，转载请注明出处。

P3

Outline

• Character Kinematics

  • Skeleton and forward Kinematics

• Inverse Kinematics

  • IK as a optimization problem
  • Optimization approaches
    • Cyclic Coordinate Descent (CCD)
    • Jacobian and gradient descent method
    • Jacobian inverse method

P4

Character Kinematics

the study of the motion of bodies without reference to mass or force

P8

joint, bone, skeleton

✅ 关注关节的位置和旋转

P13

Kinematics of a Chain

问题描述

要使手臂摆成指定的动作，每个关节在各自坐标系下的旋转是多少？

求\(Q_0, Q_1, Q_2, Q_3, Q_4\)

P14

初始pose

$$ Q_0=Q_1=Q_2=Q_3=Q_4=I $$

✅ 这一个定义了5个关节的手臂。在每个关节上绑上一个坐标系。

P15

旋转关节4

把关节4旋转R4以后

✅ \(Q\)：在世界坐标系下的朝向
✅ \(R\)：在局部坐标系下的旋转

$$ \begin{matrix} Q_0=I\quad\\
Q_1=I\quad\\
Q_2=I\quad\\
Q_3=I\quad\\
Q_4={\color{Red}{R_4}} \end{matrix} $$

P16

旋转关节3

把关节3旋转R3以后，Q3和Q4会同时受到影响

$$ \begin{matrix} Q_0=I\quad\quad\\
Q_1=I\quad\quad\\
Q_2=I\quad\quad\\
Q_3={\color{Red}{R_3}}\quad\\
Q_4={\color{Red}{R_3}}R_4 \end{matrix} $$

P17

依次旋转关节2， 1， 0

$$ \begin{matrix} Q_0={\color{Red}{R_0}}\quad \quad\quad\quad \\ Q_1={\color{Red}{R_0}}R_1 \quad\quad\quad \\ Q_3={\color{Red}{R_0}}R_1R_2R_3\quad \\ Q_4={\color{Red}{R_0}}R_1R_2R_3R_4 \end{matrix} $$

P20

简化公式，用递推的形式描述

P21

From rotation(local) to orientation(global)

$$ Q_i = Q_{i-1}R_i $$

From orientation(global) to rotation(local)

$$ R_i = Q^T_{i-1}Q_i $$

✅ 这些 \(Q\) 都是全局旋转，\(R\) 是局部旋转。

Kinematics with position

P23

初始状态

✅ \( 𝒍 \)：子关节位置在父坐标系下的坐标。

P31

positon with pose

✅ \(p\) 是全局位置，\( 𝒍 \) 是局部偏移。

P37

Forward Kinematics of a Chain: Summary

position

Given the rotations of all joints \(R_i\), find the coordinates of \(x_0\) in the global frame \(x\):

✅ \(x_0\) 是 \(R_4\) 坐标系下的点，求它在某个父坐标系下的位置。
✅ \(p\)：关节在全局坐标系下的位置
✅ 第1步：根据 \(R_i\) 和 \( 𝒍 _i\) 求出 \(Q_i\) 和 \(P_i\)
✅ 第2步：\(E\) 可以是任意父结点，公式都适用

P38

✅ 是上一页的另一种写法，不需提前算出中间变量。

P39

rotation

Given the rotations of all joints \(R_i\), find the coordinates of \(x_0\) relative to the local frame of \(Q_k\):

✅ 已知全局坐标系下的坐标，求 \(Q_k\) 下的坐标。

P40

✅ 对应上一页的另一种写法

P41

Kinematics of a Character

骨骼的参数化表示

✅ 把角色建模成多条关节链。

P43

✅ 以不同关节为 root，同样旋转会得到不同效果。

P45

Types of Joints

P50

		knee, elbow \({\color{Red}{1 \text{DoF}}}\) \(\theta_{\min }\le \theta\le \theta_{\max } \) hinge joint revolute joint
		hip, shoulder \({\color{Red}{3 \text{DoF}}}\) \(\theta_{\min }\preceq \theta \preceq \theta_{\max } \) ball-and-socket joint
		手腕。其实手腕不能自转。 2 Dof

✅ 关节的自由度最多为3，因为不能自主移动。Hips 除外。 ✅ 自由度：一个物理系统，需要多少参数可以唯一准确地描述它的状态。
✅ 6 DOF＝3 平移 ＋ 3 旋转。

姿态的参数化表示 Pose Parameters

P55

$$ (t_0,R_0,R_1,R_2\dots \dots ) $$

$$ \text{root } \mid \text{ internal joints} $$

joints are typically in the order that every joint precedes its offspring

for \(i\) in joint_list:

$$ \begin{align*} p_i= & i^,\text{ s parent joint} \\ Q_i=& Q_{pi}R_i \\ x_i= & x_{pi} + Q_{pi}l_i \end{align*} $$

✅ 一个动作的参数化表示：
✅ 全局位置＋root 朝向＋各关节旋转
✅ 通常要求，关节顺序为父在前子在后，这样只须遍历一遍就能完成 FK.

❓ Q2: how should we allow stretchable bones?
✅ 答：增加参数，3 Dof 增加为 6 Dof.

P58

Example: motion data in a file

BVH files

• HIERARCHY: defining T-pose of the character
• MOTION: root position and Euler angles of each joints

See: https://research.cs.wisc.edu/graphics/Courses/cs-838-1999/Jeff/BVH.html

P59

Inverse Kinematics

🔎 A. Aristidou, J. Lasenby, Y. Chrysanthou, and A. Shamir. 2018.
Inverse Kinematics Techniques in Computer Graphics: A Survey.
Computer Graphics Forum

P61

Forward and Inverse Problems

For a system that can be described by a set of parameters \(\theta \), and a property 𝒙 of the system given by

$$ x=f(\theta ) $$

Forward problem:

• Given \(\theta \), we need to compute \(x \)

• Easy to compute since \(f\) is known, the result is unique

• DoF of \( \theta \) is often much larger than that of \(x \). We cannot easily tune \(\theta \) to achieve a specific value of \(x\).

Inverse problem:

• Given \(x \), we need to find a set of valid parameters \(\theta \) such that\(x=f(\theta) \)

• Often need to solve a difficult nonlinear equation, which can have multiple solutions

• \(x\) is typically meaningful and can be set in intuitive ways

P62

Inverse Kinematics问题描述

Given the position of the end-effector \(x\), Compute the joint rotations \(R_i\)

P64

✅ 大部分情况下IK问题是多解问题

P68

two-joint IK

Step 1: Rotate joint 1 such that

$$ ||l_{ox}||=||l_{02}|| $$

✅ 使用余弦公式

Step 2: Rotate joint 0 such that

$$ l_{ox}=l_{02} $$

✅ 叉乘得到旋轴，点乘得到旋转角。

Step 3: Rotate joint 0 around \(l_{ox}\) if necessary

Multi Joint IK

P72

机械臂场景，关节有多个，指定末端结点的位置和朝向

$$ x=f(\theta ) \\ Q=Q(\theta ) $$

✅ 控制末端点的朝向比较简单，但控制末端点的位置比较难，因此重点考虑如何控制末端点的位置

P74

IK as an Optimization Problem

P75

Find \(\theta \) to optimize

$$ \min_{\theta } \frac{1}{2} ||f(\theta )-\tilde{x} ||^2_2 $$

✅ 用迭代的方法，从当前 motion 出发，优化出目标 motion.

P88

CCDIK

Cyclic Coordinate Descent (CCD)

Update parameters along each axis of the coordinate system

Iterate cyclically through all axes

P90

Cyclic Coordinate Descent (CCD) IK

✅ 叉乘得到旋转轴，点乘得到旋转角度。

Rotate joint 3 such that \(𝒍_{34}\) points towards \(\tilde{x}\)
Rotate joint 2 such that \(𝒍_{24}\) points towards \(\tilde{x}\)
Rotate joint 1 such that \(𝒍_{14}\) points towards \(\tilde{x}\)
Rotate joint 0 such that \(𝒍_{14}\) points towards \(\tilde{x}\)
Rotate joint 3 such that \({l}'_{34}\) points towards \(\tilde{x}\)
……

Iteratively rotation each joint to make the end-effector align with vector between the joint and the target

Easy to implement, very fast

The “first” joint moves more than the others May take many iterations to converge Result can be sensitive to the initial solution

✅ 一个动作序列做 CCD，可能结果不稳定，有跳变。
✅ 前面例子是 3210 的调整顺序，也可以是 0123 的顺序。
✅ 先移到的关节调整幅度会大一点，所以一般从末端开始。

P105

Gradient Descent

CCD下降没有考虑目标函数的性质，考虑目标函数的性质可以得出下降更快的方法。

✅ 关于梯度下降法跳过。

针对目标函数

$$ \min_{\theta } \frac{1}{2} ||f(\theta )-\tilde{x} ||^2_2 $$

其梯度为：

$$ \begin{align*} \nabla_\theta F(\theta ^i)= & (\frac{\partial f}{\partial \theta }(\theta ^i))^T(f(\theta ^i)-\tilde{x})\\ = & J^T \Delta
\end{align*} $$

✅ \(J\) 是 Jacobia矩阵， \( \Delta \) 是位置差

P106

因为更新函数为：

$$ \theta ^{i+1}=\theta ^i-\alpha J^T\Delta $$

$$ J= \frac{\partial f}{\partial \theta }=(\frac{\partial f}{\partial \theta_0 }\frac{\partial f}{\partial \theta_1 }\dots \frac{\partial f}{\partial \theta_n } ) $$

J是一个3*N的矩阵，N代表关节数。

怎么计算J？
方法一：使用machine learning framework的autograd功能
方法二：有限差分
方法三：Geometric Approach

P114

Geometric Approach

问题描述

Assuming all joints are hinge joint
求关节 1 旋转轴 \(a_1\)，对 \(x\) 位移的影响

计算过程

$$ {x}' -x=(\sin \delta \theta _i)a_i\times r_i+(1-\cos \delta \theta _i)a_i\times(a_i\times r_i) $$

$$ \frac{ \partial f }{\partial \theta _ i} = \lim _ {\delta \theta _ i \to 0} \frac{{x}'-x }{\delta \theta _ i}= a _ i\times r _i $$

P117

更通用的场景- ball joints

❓ How to deal with ball joints?
A ball joint parameterized as Euler angles:

$$ 𝑅_𝑖 = 𝑅_{𝑖𝑥}𝑅_{𝑖𝑦}𝑅_{𝑖𝑧} $$

can be considered as a compound joint with three hinge joints

✅ 一个ball joint可以看作是3个hint joint。因此占J矩阵的3列。

也可以写成这种形式：

$$ \frac{ \partial f }{\partial \theta _ {i\ast } } = a _ {i\ast } \times r _ i $$

f对某一个欧拉角的导数，等于这个欧拉角的轴叉乘上末端点到关节点的距离。

需要注意的是，这个的旋转轴a是在世界坐标系下的表示，因此要有一个坐标系的转换。

$$ \begin{align*} 𝒂_{𝑖𝑥} & =𝑄_{𝑖−1}𝒆_𝑥 \\ 𝒂_{𝑖𝑦}& = 𝑄_{𝑖−1}𝑅_{𝑖𝑥}𝒆_𝑦\\ 𝒂_{𝑖𝑧} &= 𝑄_{𝑖−1}𝑅_{𝑖𝑥}𝑅_{𝑖𝑦}𝒆_𝑧 \end{align*} $$

❓ 问：Can we parameterize a ball joint using axis-angle \(\theta u\) and compute Jacobian as

$$ \begin{matrix} \frac{\partial f}{\partial \theta _i} =\theta u\times r_i & ??? \end{matrix} $$

✅ 答：不可以。Jacobian for axis-angle representation has a rather complicated formulation…

P121

Jacobian Transpose / Gradient Descent

First-order approach, convergence can be slow Need to re-compute Jacobian at each iteration

✅ 怎么求 \(J\)，这里讲了 3 种方法：（1）backward 框架（2）差分（3）几何计算。实际上直接用 1 可以解决，不需要自己去算，因此跳过。
✅ 特点：（1）迭代次数比 CCD 少（2）计算量比 CCD 大。

P122

✅ 数值插值算法见 GAMES102.

P124

Quadratic Programming 二次规划问题

✅ 这几页介绍二次函数求极值的问题。

$$ \min_{\theta } F(\theta )=\frac{1}{2} \theta ^TA\theta +b^T\theta $$

where \(A\) is positive definite:

$$ A=A^T,\theta ^TA\theta \ge 0 \text{ for any } \theta $$

P126

公式直接求解

$$ \begin{matrix} \text{Gradient}: \nabla_\theta F(\theta )=A\theta +b \\ \text{Optimality condition}: \nabla_\theta F(\theta ^\ast )=0\\ {\color{Blue} \Downarrow } \\ \theta ^\ast =-A^{-1}b \end{matrix} $$

✅ 二次函数的极值点可以直接从公式求出来

P127

Gauss-Newton Method

✅ IK问题也可以转化为二次函数求极值的问题

$$ F(\theta )=\frac{1}{2} ||f(\theta )-\tilde{x} ||^2_2 $$

Consider the first-order approximation of \(f(\theta)\) at \(\theta^0\)

✅ 把 \(f(\theta )\) 在 \(\theta ^{\circ} \) 处一阶泰勒展开。

$$ \begin{align*} f(\theta)\approx & f(\theta^0) + \frac{\partial f}{\partial \theta} (\theta^0)(\theta-\theta^0) \\ = & f(\theta^0)+J(\theta-\theta^0) \end{align*} $$

P128

✅ 把它代入目标函数。

\begin{align*} f(\theta)\approx & \frac{1}{2}||f(\theta^0)+J(\theta -\theta ^0)-\tilde{x}||^2_2 \\ = &\frac{1}{2} (\theta -\theta ^0)^TJ^TJ(\theta -\theta ^0)\\ & +(\theta -\theta ^0)^TJ^T(f(\theta ^0)-\tilde{x})+c \end{align*}

P129

first-order optimality condition

✅ 令 \((\nabla F (\theta ))^T=0\)

$$ \begin{matrix} f(\theta)\approx \frac{1}{2}||f(\theta^0)+J(\theta -\theta ^0)-\tilde{x}||^2_2 \\ \Downarrow \\ (\nabla F (\theta ))^T=J^TJ(\theta-\theta^0)+J^T(f(\theta^0)-\tilde{x} )=0 \end{matrix} $$

P133
$$ J^TJ(\theta-\theta^0)=-J^T\Delta $$

if \(J^TJ\) 不可逆

✅ \(J\) 的维度是 \(3\times N\)，因此 \(J^TJ\) 不可逆。

\(J^TJ\) is \({\color{Red} {\text{NOT}}}\) invertible, but \(JJ^T\) can be invertible

P134
因此做以下转化：

✅ \(\Delta\) 是当前和目标的末端点位置之差。

P135

$$ J(\theta-\theta^0)=\tilde{x} -f(\theta^0) $$

P137

$$ \begin{align*} \theta = & \theta ^0-J^+\Delta \\ = & \theta ^0-J^T(JJ^T)^{-1}\Delta \end{align*} $$

\(J^+\)表示J的(Moore-Penrose) Pseudoinverse

P138

if \(J^TJ\) 可逆

$$ J^TJ(\theta-\theta^0)=-J^T\Delta $$

If \(J^TJ\) is invertible, we have

$$ \theta = \theta^0 - (J^TJ)^{-1}J^T\Delta $$

but when can \(J^TJ\) be invertible?

P141

✅ 答：改变IK的约束条件（例如增加中间关节的位置要求）和自由度（例如限制关节的自由度），可改变 \(J\) 的形状为方阵或高瘦阵，此时 \(J^TJ\) 可逆，则换一种方式求逆。

P143

对比

✅ 左：欠约束，右：过约束。
✅ 由于这个方法的本质是把高度非线性的函数做了线性化，所以只是在当前位置附近才有效，远了误差就会非常大。因此增加learning rate。

P145

Usually faster than gradient descent/Jacobian transpose method.

Any problem? \(JJ^T/J^TJ\) can be (near) singular!

✅ 快一点是因为 \(J^＋\) 是近似的 \(J\)，计算量较小，问题是可能得到一个错很远的 \(J^＋\)，导致结果不稳定。

P147

Damped Jacobian Inverse Method

✅ 上一页的问题是伪逆\(J^＋\) 引入的不稳定。
✅ 解决方法：引 \(\lambda\) 阻尼项

$$ J^\ast =J^T(JJ^T+\lambda I)^{-1} $$

$$ J^\ast =(J^TJ+\lambda I)^{-1}J^T $$

P148
Also called Levenberg-Marquardt algorithm

✅ 引 \(\lambda\) 阻尼顶后，两种方式的计算结果相同。
✅ 当 \(\lambda\) 很大时，此方法等价于梯度下降法。

P149

\(\lambda\) 的几何意义

✅ 相当于正则项 ✅ 进一步地，分别给每个关节移动权重。
✅ 权重越大，移动越小。

P152

Character 全身IK

✅ 全身 IK，不同链条上都有目标点。
✅ 可以同时优化所有链，或选一个或选一些。
✅ IK 要更新哪关节也可以自由设定。

P156

总结

✅ IK问题可以使用优化方法，不同优化方法对应不同 IK 方法，例如：
CCD → CCDIK
梯度下降法 → Jacobian transpose
Gaussian → Jacobian Inverse
✅ IK问题可以使用启发式方法，例如FABRIK Andreas Aristidou and Joan Lasenby. 2011.
🔎 FABRIK: A fast, iterative solver for the Inverse Kinematics problem.
Graphical Models

P158

✅ Slerp 结合 Sbline.
✅ 50 fps → 60 fps：先插值，再采样
✅ 惯性插值：UE 基于 SPD 求约束来做 IK
✅ 参考 Darel Holden 博客

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P3

Outline

• Character Kinematics (cont.)

  • Motion Retargeting
  • Full-body IK

• Keyframe Animation

  • Interpolation and splines

P4

Recap: Character Kinematics

P15

Reference Pose

{ \(𝑅_𝑖 = 𝐼\) }
The pose with zero / identity rotation Bind pose / Reference pose

❗ reference pose不一定是Tpose。

P16

T-Pose? A-Pose?

✅ 常见的reference pose一般为Apose或者Tpose。
✅ 对于骨骼动画来讲，\(A\) 或 \(T\) 都一样。
✅ 对于骼骼绑定与蒙皮来讲，更倾向于\(A\)。因为 \(A\) 的肩膀是自然状态。

P19

特殊的reference pose

		✅ 这个动作跟建模师建模时的动作镜像操作有关。

P23

不同reference pose会引入的问题

✅ 相同的姿态参数放在不同的参考姿态下呈现出的姿态不同。 ✅ 解决方法：Retargeting

P29

Retargeting between reference poses

✅ 让不同参考姿态的角色做出同样的动作，根据 \(R_A\) 求 \(R_B\).
✅ 重定向还有其它问题，例如关节长度、穿模。

P33

Retargeting for a single object

问题分析

公式推导

✅ 把 B 先转到 A 的姿态，再做指定动作。

P45

Retargeting for a chain of links

问题分析

✅ 两个关节的场景

公式推导

P49

结论

P51

P52

Retargeting between reference poses

问题分析

P53

结论

P101

Keyframe Animation and Interpolation

✅ Keyframe Animation跳过

P106

Interpolation

• Given a set of data pairs \(D=\){\((x_i,y_i)\mid i=0,\dots ,N\)} find a function \(f(x)\) such that

P107

常见的差值方法有Linear Interpolation、Polynomial Interpolation等。详见GAMES102。

P114

Smoothness

Interpolation of Rotations

P154

P157
SLERP for Quaternions

$$ q_t=\frac{\sin[(1-t)\theta ]}{\sin \theta } q_0 + \frac{\sin t \theta }{\sin \theta }q_1 $$

$$ \cos \theta = q_0 \cdot q_1 $$

Constant rotational speed, but only “linear” interpolation

P158

🔎 Animating rotation with quaternion curves.
Ken Shoemake. 1985
SIGGRAPH Computer Graphics,

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P2

Outline

• Motion Capture

  • History and modern mocap systems

• Motion Synthesis

  • Motion retargeting
  • Motion transition
  • Motion graph

P3

Motion Capture

How to get motion data?

✅ 动画师制作，光学动捕、视觉动捕，外骨骼动捕，惯性传感器，动作估计。

P29

Motion Synthesis

How to use motion data?

P31

P32

Motion Retargeting

Retargeting要解决的问题

• Retarget a motion to drive a character with
  • Different number of bones
  • Different bone names
  • Different reference pose
  • Different bone ratios
  • Different skeletal structure
  • ……

P34

A possible retargeting pipeline

• Map bone names
• Scale translations
• Copy or retarget joint rotations to fix reference pose
• Postprocessing with IK
  • Foot-skating
  • Self penetration
• ……

P38

Motion Transition

✅ 有一段走路数据和跑步数据，如何实现人由走到跑的过程。

方法一

	✅（1）找到两个 motion 中相似的一帧。
	✅（2）两帧在时间上对齐
	✅（3）放到这一帧时动作切换。

✅ 缺点：会有明显间断。

方法二

	✅ 改进：考虑前后帧，并做插值。

P46

$$ p(t)=(1-\phi (t))p_0(i)+\phi (t)p_1(i) $$

✅ 不一定非要线性插值，定义 \(\phi (t)\)，或其它混合策略
✅ 可能存在的问题：（1）突然转向（2）滑步
✅ 当走和跑分别是朝不同方法时会出现以上问题。
✅ 解决方法：插值之前动作对齐

P55

“Facing Frame”

定义坐标系

每个角色有自己的角色坐标系，定义为：
A special coordinate system that moves horizontally with the character with one axis pointing to the “facing direction” of the character

✅ 原点：Hip 在地面上的投影
✅ 坐标轴：参考姿态下 \(y\) up \(z\) forward.且旋转和平移都受到限制。

$$ \begin{align*} R & = \theta e_y \\ t & = (t_x,0,t_z) \end{align*} $$

✅ 也可以为不同的的场景定义不同的 \(R\) ，例如上下半身的 \(y\) 轴旋转方向不同。

• Possible definitions of \(R\)
  • \(R\) is the y-rotation that aligns the z-axis of the global frame to the heading direction
  • \(R\) is the y-rotation that aligns x-axis of the global frame to the average direction of the vectors between shoulders and hips
  • Decomposition root rotation as \(R_0=R_yR_{xz}\)

P58

动作分解

✅ 把 \(R\) 分解为 \(R_y\) 和 \(R_{xz}\)，求 \(R_y\)
✅ \({R}' \) 能够把 local y-axis 转到 global y-axis 的矩阵。

P62

动作合成

• How to compute this transformation?

✅ 两个坐标系的转换。

P68

Path Fitting

👆 让角色跟着轨迹移动。

P69

Motion Composition

Computationally generating motions according to
- User control
- Objects in the same environment
- Movements of other characters
- ……

P70

Motion Graphs

👆 动作图的本质是状态机。

P72

Segment Motion Data

✅ 一段动捕数据，如何做分割，如何确定哪些点可以连到一起。
✅ Distance 可以有多种定义方式。
✅ 根据图确定分段与连接。

P73

建立动作转移关系

• Distance map
  • Each pixel represents the difference between a pair of poses
  • Local minima are potential transition point

🔎 Motion graphs Lucas Kovar, Michael Gleicher, and Frédéric Pighin. 2002.
ACM Trans. Graph. 21, 3 (July 2002),

P74

Motion Synthesis

• State-machines
  • Nodes represent motion clips
  • Edges represent potential transitions
  • Transitions are triggered when necessary
    • User input
    • Clip end
  • Check immediate connections for the next clip
    • May need deeper search

P75

Interactive Animation Pipeline

✅ 优点：根据路线从动作库中选择最合适的动作，而不是直接使用路线，因此减少滑步。
✅ 缺点：(1) 动作多时动作复杂。
(2) 一个片断播完再切动作，响应较慢。
(3) 需要提前规划好动捕动作。
✅ 如果数据集里没有想要的姿态，可以结合 IK.

P78

Motion Matching?

• Clip → Pose
• Short clip → “Raw” and long motion data

✅ 切换粒度更细：1帧 or 0.1 s．
✅ 灵活性提升，可控性欠缺。

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P1

✅ 基于数据：对现有数据进行连接重组。
✅ 基于学习：对数据处理，放入模型，再生成数据。

P2

Outline

• Recap: interactive character animation
  • Motion Graphs
  • Motion Matching
• Statistical Models of Human Motion
  • Principal Component Analysis
  • Gaussian Models

P3

Recap: Interactive Animation

How to make a character respond to user command?

P9

Motion Graphs

✅ 检测到用户输入后：

1. 把当前片段播完（响应慢）
2. 所有下一片断与当前状态进行坐标系对齐
3. 根据当前状态和预期轨迹，选择下一个片断
4. 播放对齐后的下一片断

✅ 可以结合路径规划算，实现一些智能角色。Motion Graph 只是一个底层数据结构。

P14

Motion Fields

Motion Graphs / State Machines	Motion Fields / Motion Matching

✅ Motion Matching 是将 Motion Fields 简化以后加一些比较好的工程实践。

P17

构建 Motion Fields

✅ 每条链路代表一个动作，灰圈代表动作里的一帧，整体构成一个很大的 Field.

P20

在Motion Fields中选择pose

✅ 每一帧有一些最近邻，它们来自不同动作，有不同的状态。
✅ 绿色代表向右，挑出对应帧。做混合。

P23

对pose的混合

✅ 根据用户输入设置不同权重，会得到不同结果
✅ 优点：(1) 自由控制（2）支持外力，可结果物理仿真（3）不需要使首尾帧相似的预处理。
✅ 缺点：需要设计一些规则来计算最近邻的混合。
✅ 解决方法：强化学习

P24

Pipeline

✅ 根据用户输入设计邻局的权重，这一步难以工业化。
✅ 论文使用强化学习来解决，这样增加了训练的难度。

P31

Motion Matching

P32

✅ 简化一：只找一个最近邻，不需要 blend. 然后用平滑解决跳变问题。

P34

距离衡量函数

We need a distance function / metric to define the nearest neighbor

$$ \text{next-pose } = \min_{i \in\text{ Dataset}} ||x_{\text{curr}}-x_i|| $$

$$ x: \text{feature vector} $$

✅ Motion Matching 中距离函数的设计很重要，很大程度上影响算法的效果。
✅ 这个距离定义可以是特征相关的。

A possible set of feature vectors:

• root linear/angular velocity
• position of end effectors w.r.t. root joint
• linear/angular velocity of end effectors w.r.t. root joint
• future heading position/orientation (e.g. in 0.5s, 1.0s, 1.5s, etc.)
• foot contacts
• ……

P36

动作平滑

We need a smooth motion

• Only do the search every few frames
• Smoothly blend current pose to the target pose
  • Inertialized blending (ref. https://www.theorangeduck.com/page/spring-roll-call by Daniel Holden)

搜索效率

We need a good performance

• An efficient data structure for searching，例如 e.g. KD-tree

数据集

A efficient dataset，例如“Dance card”

✅ 保证所使用的动作集能够覆盖到目标。
✅ 优点：(1) 实现简单 (2) 控制灵活 (3) 可结合物理仿真。
✅ 缺点：(1) 不能解决滑步

P39

Statistical Models of Human Motion

✅ 根据已有数据，对“动作自然”建模。
✅ 或找到一个模型，告诉我们什么是自然姿态。

P43
因为由于以下原因， “自然的动作”实际上是够成高维的动作参数空间的流形曲面。

• Coordinated arm/leg movement
• Musculoskeletal structure
• Laws of physics
• ……

P45

Principal Component Analysis (PCA)

• A technique for
  • finding out the correlations among dimensions
  • dimensionality reduction

✅ PCA 细节跳过。目的：降维，抓住主要特征。

P65

a pose \(x\) with smaller \(\sum _k\frac{((x-\bar{x})\cdot u_k)^2 }{\sigma ^2_k}\) is more likely to be a good pose

✅ 可作为动作生成的先验，告诉我一个动作是否合理。
✅ \(M_k\) 和 \(\sigma_k\) 分别是 \(k\) 维上的均值和方差。

P66

Character IK with a Motion Prior

正则化先验

$$ F(\theta )=\frac{1}{2} \sum_{i}^{} ||f_i(\theta )-\tilde{x} _i||^2_2+\frac{\lambda }{2}||\theta ||^2_2 $$

$$ \theta=(t_0,R_0,R_1,R_2\dots \dots ) $$

✅ 正则项代表主观先验: \(\theta \) 小更有可能是合理动作。

P68

PCA先验

$$ F(\theta )=\frac{1}{2} \sum_{i}^{} ||f_i(\theta )-\tilde{x} _i||^2_2 $$

$$ +\frac{w }{2}\sum_{k}^{}(\frac{(\theta -\bar{\theta })\cdot u_k }{\sigma _k} )^2 $$

✅ 把 P65 方法应用到 IK 来判断动作好坏的实例。
✅ 改进为基于统计的先验。

P71

Data Distribution

\(p(x)\) : probability that \(x\) is a natural pose

✅ 假设存在这样一个分布，但不知道分布的具体形式，要估计这样的分布
✅（1）从分布中采样，例如：动捕
✅（2）通过各种模型把分布估计出来，即从数据中估计出模型参数。

P75

Gaussian Distribution

✅ 假设分布就是高斯分布

通过Maximum Likelihood Estimators (MLE，最大似然估计)得到:

$$ \begin{align*} \bar{x} &= \frac{1}{N} \sum_{i}^{} x_i \\ \Sigma & =\frac{1}{N} X^TX \end{align*} $$

P76

PCA 可以看作一种高斯分布。

$$ \sum =X^TX=U\begin{bmatrix} \sigma ^2_1 & & & \\ & \sigma ^2_2 & & \\ & & \ddots & \\ & & &\sigma ^2_N \end{bmatrix}U^T $$

$$ x-\bar{x} =\sum_{k=1}^{n} w_ku_k $$

✅ PCA 分解可以看作是坐标转换或变量代换。

P77

P78

Character IK with a Motion Prior

$$ F(\theta )=\frac{1}{2} \sum_{i} ||f_i(\theta )-\tilde{x} _i||^2_2+\frac{w}{2}\sum_k(\frac{(\theta -\bar{\theta })\cdot u_k }{\sigma _k} )^2 $$

P79

$$ F(\theta )=\frac{1}{2} \sum_{i}^{} ||f_i(\theta )-\tilde{x} _i||^2_2-w \log \prod_k e^{-\frac{1}{2}(\frac{(\theta -\bar{\theta })\cdot u_k }{\sigma _k} )^2 } $$

P80

$$ F(\theta )=\frac{1}{2} \sum_{i}^{} ||f_i(\theta )-\tilde{x} _i||^2_2-w \log p(\theta )
$$

$$ \theta=(t_0,R_0,R_1,R_2\dots \dots ) $$

✅ 第一项：符合目标。第二项：动作合理。

P81

Motion Synthesis with a Motion Prior

Given a motion prior \(p(x)\) learned from a set of data points \(D \)= {\(x_i\)}, Synthesize a motion \(x\) that minimize the objective

$$ f(x)=f(x)-w \log p(x ) $$

Note: \(x\) can represent a pose \(\theta\)
\(\quad\quad\) or a motion clip → a sequence of poses {\( \theta t\)}
\(\quad\quad\) or any features of a motion → e.g. \(w_k\) in PCA

✅ \(x\) 可以不局限于 \(\theta \)、而是任何一个可以描述 motion 的量。
✅ \(f(x)\) 代表目标，目标也不局限于 IK，也可以是Keyframes、User control、Environment constraints等
✅ 但“认为动作符合高斯分布”仍然是一个非常受限约束，难以用于复杂的动作

P83

相关工作

见https://caterpillarstudygroup.github.io/ImportantArticles/index.html

	✅ 使用高斯混合模型，用于动作编辑。 ✅ \(x\) 不局限于单帧动作，也可以是一个序列。
Min et al. 2009	✅ 视频动捕是欠约束问题，但可以通过分布过滤掉不合理的结果。
	✅ 缺点：实现麻烦，很多超参。
	[Starke et al 2020, Local Motion Phases for Learning Multi-Contact Character Movements]
	[Henter et al. 2020, MoGlow: Probabilistic and Controllable Motion Synthesis Using Normalising Flows] ✅ 利用 RL 等方法，在 lalent code 上生成轨迹，再把轨迹转到动作空间。
	[Lee et al 2019, Interactive Character Animation by Learning Multi-Objective Control]
	[Holden et al 2020, Learned Motion Matching] ✅ 用 DL 代替复杂的模型，来估计动作先验。

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P2

Outline

• Learning-based Character Animation (cont.)
  • Motion Models
  • Autoregressive models: PFNN
  • Generative models

P4

Learning Motion Models

问题的数学建模

\(p(x)\): probability that 𝒙 is a natural motion

由于 \(p(x)\) 无法由计算得出，所以从数据去学。数据即 a set of example motions {\(x_i\)}∼ \(p(x)\)

P5

数学模型1

✅ 一个pose可以用每个关节的位置表示，也可以用每个关节的旋转表示。如果用位置约束，最后需要通过IK变成旋转的约束。如果用旋转约束，就难以做到需要约束位置的效果。
✅ P(X)判断整个序列所有pose的联合分布是否合理。

P7

数学模型2

$$ p(X\mid z)=p(x_1,\dots ,x_T\mid z) $$

$$ \begin{align*} 𝑧: & \text{ control parameters} \\ & \text{ latent variables} \\ & …… \end{align*} $$

✅ 对动作序列的要求，除了动作合理，还要符合用户期待，用户要求可以是显式的，例如往左走；也可以是隐式的，例如以老人的风格走。\(z\) 代表用户条件。
✅ P(X|z)判断在条件z下整个序列所有pose的联合分布是否合理。

P8

$$ (x_1,\dots ,x_T)=f(z) $$

$$ \begin{align*} 𝑧: & \text{ control parameters} \\ & \text{ latent variables} \\ & …… \end{align*} $$

✅ 如果概率分布是正确的，基于这个分布采样能得到一个合理的动作，且满足前提条件。

P14

数学模型3

$$ p(X\mid z)=p(x_1,\dots ,x_T\mid z) $$

$$ =p(x_1)\prod_{t}^{} p(x_t\mid x_{t-1},\dots ,x_1;z) $$

\(^\ast \) The chain rule of conditional probabilities:

$$ \begin{align*} p(x_1,x_2,x_3) & = p(x_2,x_3 \mid x_1)p(x_1) \\ & = p(x_3 \mid x_2, x_1)p( x_2 \mid x_1)p(x_1) \end{align*} $$

✅ 序列合理 ＝ 已知序列中的前 \(t-1\) 帧时第 \(t\) 帧应当合理。

P15
采样过程为：

$$ x_t=f(x_{t-1},x_{t-2},\dots x_1;z) $$

P17

数学模型4

✅ 假设动作具有Markov 性（无记忆性）

$$ x_t=f(x_{t-1};z) $$

Markov Property

✅ \(x_t\) 只受 \(x_{t-1}\) 影响，与 \(t-1\) 之前的动作无关。

P18

Two Perspectives on a Motion Sequence

数学模型3	数学模型4
✅ 无交互无实时通常用前者	✅ 游戏里面通常用后者
✅ 左：直接生成所有动作。	✅ 右：一帧一帧地生成。
	✅ 右无法考虑未来，不能根据将要发生的事情调整当前的动作。（自回归）

P25

数学模型

$$ x_t=f(x_{t-1}) $$

✅ 由于只和上一帧相关，二元组 \(（x_{t-1}，x_t）\) 构成了一个数据，希望从里面学到一些信息。
✅ Neural Network 相关部分跳过。
✅ 当前先不考虑 \(z\)
✅ 可以把它当作优化问题来解。

P40

Ambiguity Issue

$$ x_t=f(x_{t-1}) $$

✅ 但是 \(x_t\) 和 \(x_{t-1}\) 的关系是有歧义性的，最后学到一个平均的 \(x_t\).
✅ 因为\(x_{t-1}\)与\(x_t\)不是一对一的mapping关系。

P41

Hidden Variables

$$ x_t=f(x_{t-1};z) $$

✅ 需要加入一个额外的变量，可以来自用户输入或先验信息。关键是怎么找到 \(z\)，使学习比较有效。

P55

相关工作

	*SIGGRAPH 2018 ✅ 论文一：除角色姿态，还考虑脚的速度。
	*SIGGRAPH 2020 ✅ 论文二：把两个脚拆开，并考虑手，分别定义相位函数。
	*SIGGRAPH 2022 ✅ 论文三：从数据中自动学到相位函数的组合。

P57

Generative Models

✅ 不学两帧关系，而是直接学概率密度函数。
✅ 难点：(1) 真实 PDF 可能非常复杂 (2) 从一个 PDF 中采样也很难。
✅ PDF 的作用是判断动作是不是真的。

P60

常见套路

Generative Models	✅ 一般生成式模型是这样的形式：从一个简单的 PDF，通过 \(f(z)\)，映射到 \(p(x)\). ✅ 关键是 \(f(z)\) 要学好。
Variational Autoencoders	✅ VAE：已知一些真实数据采样，用 Encoder 编码到简单分布上的点，再用Decoder 变回原分布上的点。 ✅ control VAE 是 VAE＋控制＋物理仿真
Generative Adversarial Network	✅ GAN：无 Encoder，增加一个判别器。 ✅ ASE、AMP 是 GAN 的控制版本。 ✅ RL 不结合物理难以 work，因为难以定义 reward.
Normalizing Flows	✅ 标准化流：类似 VAE，使用一个可逆函数。
Diffusion Models	✅ 扩散模型：多次编码与解码。 ✅ 一个动作序列相当于隐空间里的一条轨迹。

P62

相关工作

见https://caterpillarstudygroup.github.io/ImportantArticles/index.html

	[Tevet et al. 2022, arXiv, MDM: Human Motion Diffusion Model]

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P2

Outline

• Skinning

  • Linear Blend Skinning (LBS)
  • Dual Quaternion Skinning (DQS)
  • Blendshapes

• Examples:

  • The SMPL model
  • Facial Animation

🔎 SIGGRAPH 经典的蒙皮课程。
Many images are from: https://skinning.org/
Alec Jacobson, Zhigang Deng, Ladislav Kavan, and J. P. Lewis. 2014.
Skinning: real-time shape deformation.
In ACM SIGGRAPH 2014 Courses (SIGGRAPH '14)

P7

Skinning Deformation

绑定与蒙皮概念

✅ Rigging：创建脸部控制器或身体骨骼。黄色为在 Mesh 顶点内放置的骨骼。
✅ Sinning：让控制器带动皮肤运动。或让 Mesh 顶点跟着骨骼运动。

P12

Skinning Deformation

计算方式一

✅ 骨骼运动的旋转和平移分别为 \(R\) 和 \(t\)，关节的位置和朝向则变成了 \({Q}'\) 和 \({o}'\).
✅ 求 \(x\) 的新位置 \({x}'\). 本质上就是坐标系变换：世界坐标系 → \({o}\) 坐标系 → \({o}'\) 坐标系 → 世界坐标系

P13

计算方式二

✅ \(r\) 为 \(x\) 在骨骼坐标的表达，用 \(r\) 计算更简洁。

P16

Bind Pose

✅ 当骨骼参考姿态与 Mesh 参考姿态不一致时，需要先旋转骨骼到 Mesh 姿态。

P20

Skinning Deformation - 2 joints

$$ r_2=Q^T_2(x-o_2) \quad \quad r_1=Q^T_1(x-o_1) $$

✅ 多骨骼场景，\(x\) 在关节 \(O_1\) 和 \(O_2\) 下分别 \(r_1\) 和 \(r_2\) 两种表达。

P23

✅ 得到的旋转后表达分别为 \({x}'_1\) 和 \({x}'_2\)，通过权重对它们结合。

P29

✅ 同时考虑所有 Mesh 顶点和所有关节。

P31

Linear Blend Skinning (LBS)

$$ {x}'_ i= \sum_ {j=1} ^ {m} w _ {ij}({Q}'_ jr_{ij}+{o}'_j) $$

• Used widely in industry
• Efficient and GPU-friendly
  • Games like it

✅ Bind Pose：让骨骼与 Mesh 对齐，为 Bind Pose．
✅ Bind Pose 情况下 Motion 不一定为零。

P33

Automatic Skinning?

Pinocchio [Baran et al., 2007]

P37

Linear Blend Skinning (LBS)

✅ 公式第一项对 \(R_j\) 所加权，所得到的很有可能不再是旋转矩阵。

存在的问题： Candy-Wrapper Artifact

P40

Advanced Skinning Methods

• Multi-linear Skinning (we will not cover this)

  • Multi-weight enveloping [Wang and Phillips 2002]
  • Animation Space [Merry et al. 2006]
  • ……

• Nonlinear Skinning

  • Dual-quaternion Skinning (DQS)
  • Skelebones (PartMM) — GaussiAnimate (ReadPapers/220): 用 Part-aware Mixture Model 替代 LBS，直接学习部件级别运动分布，PSNR 比 LBS 高 17.3%。原本用于 3DGS 驱动，理论上也可用于 Mesh 驱动（用 soft assignment + 最近邻匹配替代 LBS 的固定骨骼权重），但 Mesh 场景下面临三个问题：(1) 最近邻搜索比 LBS 矩阵乘法慢很多，不利于实时渲染；(2) 最近邻匹配可能跨帧跳跃，时间一致性不如 LBS 稳定；(3) 现有引擎全基于 LBS/DQS 构建，替换绑定方案工程成本高。Mesh 本身有拓扑约束兜底，LBS/DQS/SSD 已足够；PartMM 对没有拓扑的 3DGS 价值更大。

✅ DQ：对偶四元数。

P41

Non-linear Skinning

quaternions and SLERP

Can we use quaternions and SLERP?

P42

✅ 不行。原因：第一项与第二项必须要配合好，否则会乱掉。

P43

从公式角度来解释不行的原因

$$ {x}' _ i = ( \sum _ {j=1}^{m} w _ {ij} R _ j) x _ i+ \sum _ {j=1}^{m}w _ {ij}t_ j $$

$$ R \in SO(3) $$

$$ T_j=\begin{bmatrix} R_j & t_j\\ 0 &1 \end{bmatrix} \in SE(3) $$

✅ \(T_j\) 构成一个刚性变换群。

P46

Interpolation in 𝑆𝑂(3)

✅ 线性插值和 SLERP 插值 SO(3) 上。

P49

Interpolation in 𝑆𝐸(3)

✅ SE（3）上的线性插值，插值到一个退化的点。

P51

Intrinsic Blending

P52

Dual-Quaternion Skinning (DQS)

• Approximation of intrinsic averages in SE(3)

Ladislav Kavan, Steven Collins, Jiri Zara, Carol O‘Sullivan. Geometric Skinning with
Approximate Dual Quaternion Blending, ACM Transaction on Graphics, 27(4), 2008.

✅ 把旋转 ＋ 平移的刚性变换表达为对偶四元数。

P54

Dual Numbers

P55

Dual Quaternion

• Dual quaternion

$$ \hat{q} =q_0 + \varepsilon q_\varepsilon $$

$$ \text{where } \varepsilon^2=0 $$

A good note of dual-quaternion:
https://faculty.sites.iastate.edu/jia/files/inline-files/dual-quaternion.pdf

P56

Dual Quaternion

• Scalar Multiplication

$$ s\hat{q}=sq_r+sq_\varepsilon\varepsilon $$

• Addition

$$ \hat{q} _ 1 + \hat{q} _2=q _ {r1}+ q _ {r2} + \varepsilon (q _ {\varepsilon 1} + q _ {\varepsilon 2}) $$

• Multiplication

$$ \hat{q} _ 1 \hat{q} _ 2 = q _ {r1} q _ {r2} + \varepsilon (q _ {r1} q _ {\varepsilon 2} + q _ {r2} q _ {\varepsilon 1}) $$

P57

Dual Quaternion

• Dual quaternion

$$ \hat{q}=q_0+\varepsilon q_\varepsilon $$

• Conjugation

$$ \mathrm{I}:\hat{q}^* =q ^ * _ 0+\varepsilon q ^ * _ \varepsilon $$

$$ \mathrm{II}:\hat{q}^ {\circ} =q _ 0 - \varepsilon q _ \varepsilon $$

$$ \mathrm{III}: \hat{q} ^ \star = q ^ * _ 0 - \varepsilon q ^ *_ \varepsilon $$

$$ \quad \quad \quad \quad = ({\hat{q} ^ *}) ^ {\circ} = (\hat{q} ^ {\circ}) ^ * $$

$$ (\hat{q} _1\hat{q}_2)^\times =\hat{q} _1 ^\times \hat{q}_2^\times $$

• Norm

$$ ||\hat{q}||=\sqrt{\hat{q}^*\hat{q}} =||q_0||+\frac{\varepsilon (q_0\cdot q_\varepsilon) }{||q_0||} $$

P58

Dual Quaternion

• Unit dual quaternion: \(||\hat{q}||=1\), which requires:

$$ ||q_0||=1 $$

$$ q_0 \cdot q_\varepsilon=0 $$

P59

Dual Quaternion ⇔ Rigid Transformation

• Like quaternion, any rigid transformation \(T \in SE(3)\) can be converted into a unit dual quaternion

$$ Tx=Rx+t $$

$$ T=[R\mid t]\to \hat{q} =q_0+\varepsilon q_\varepsilon $$

$$ \begin{matrix} q_0=r \quad & \text{ quaternion of } R \quad \quad\quad\quad\\ q_\varepsilon =\frac{1}{2} tr & \text{ pure quaternion } t = (0,t) \end{matrix} $$

✅ 把一个刚性变换表示为对偶四元数。

P60

Dual Quaternion ⇔ Rigid Transformation

• Transform a vector \(v\) using unit dual quaternion

$$ {\hat{v} }' =\hat{q} \hat{v} \hat{q} ^\star $$

where

$$ \begin{align*} \hat{v} & = 1+\varepsilon (0,v) \\ & =(1,0,0,0)+\varepsilon (0,v_x,v_y,v_z) \end{align*} $$

$$ \quad $$

$$ \mathrm{III}: \hat{q} ^ \star = q ^ * _ 0 - \varepsilon q ^ *_ \varepsilon $$

$$ \quad \quad \quad \quad = ({\hat{q} ^ *}) ^ {\circ} = (\hat{q} ^ {\circ}) ^ * $$

P61

Dual Quaternion ⇔ Rigid Transformation

• Like quaternion, any rigid transformation \(T \in SE(3)\) can be converted into a unit dual quaternion

$$ T=[R\mid t]\to \hat{q} =q_0+\varepsilon q_\varepsilon $$

$$ \begin{matrix} q_0=r \quad \\ q_\varepsilon =\frac{1}{2} tr \end{matrix} $$

\(\hat{q}\) and \(-\hat{q}\) represent the same transformation \(\hat{Q}\) is a double cover of \(SE(3)\)

P62

Double Cover Visualized

P63

Interpolating Dual-Quaternion

P64

Dual-Quaternion Linear Blending (DLB)

P65

Dual-Quaternion Skinning (DQS)

P66

Budging Artifact of DQS

✅ 越往右蒙皮权重越光滑。
✅ DQBS 也有比较严重的 artifacts.

P67

How to Correct LBS?

✅ LBS 的天然缺陷

P69

How to Correct LBS?

P74

Scattered Data Interpolation

P76

Scattered Data Interpolation

• Linear
  • Least squares
• Splines
• Inverse distance weighting
• Gaussian process
• Radial Basis Function
• ……

P81

Radial Basis Function (RBF) Interpolation

$$ y=\sum_{i=1}^{k} w_i\varphi (||x-x_i||) $$

P83

Radial Basis Function (RBF) Interpolation

$$ y=\sum_{i=1}^{k} w_i\varphi (||x-x_i||) $$

How to compute \(w_i\) ? We need \(f(x_i)=y_i\)

$$ \begin{bmatrix}
R_{1,1} & R_{1,2} & \cdots & R_{1,K} \\
R_{2,1} & R_{2,2} & & \vdots \\
\vdots & & \ddots & \vdots \\
R_{K,1} & \cdots & \cdots & R_{K,K}
\end{bmatrix} \begin{bmatrix} w_1\\ w_2 \\ \vdots\\ w_K \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} y_1\\ y_2 \\ \vdots\\ y_K \end{bmatrix} $$

$$ R_{i,j}=\varphi (||x_i-x_j||) $$

P84

Radial Basis Function (RBF)

$$ y=\sum_{i=1}^{k} w_i\varphi (||x-x_i||) $$

• Gaussian:

$$ \varphi (r)=e^{-(r/c)^2} $$

• Inverse multiquadric:

$$ \varphi (r)=\frac{1}{\sqrt{r^2+c^2} } $$

• Thin plate spline:

$$
\varphi (r)=r^2 \log r $$

• Polyharmonic splines:

$$ \varphi (r)=\begin{cases} r^k,k=2n+1\\ \\
r^k \log r,k=2n \end{cases} $$

P85

Pose Space Deformation

$$ {x}' =\sum_{j=1}^{m} w_iT_j (x+\delta (x,\theta )) $$

• \({x}'= SKIN(PSD(x))\)
• 𝑃𝑆𝐷 is implemented as RBF interpolation
• Example shapes can be created manually
  • Or by 3D scanning real people → the SMPL model

J. P. Lewis, Matt Cordner, and Nickson Fong. 2000. Pose space deformation: a unified approach to shape

interpolation and skeleton-driven deformation. In Proceedings of the 27th annual conference on Computer

graphics and interactive techniques (SIGGRAPH ’00), ACM Press/Addison-Wesley Publishing Co., USA, 165–172.

P86

Pose Space Deformation

P87

Issues

• Per-shape or per-vertex interpolation
  • Should we interpolate a shape as a whole?
• Local or global interpolation?
  • Should a vertex be affected by all joints?
• Interpolation algorithm?
  • Is RBF the only choice?

SIGGRAPH Course 2014 — Skinning: Real-time Shape Deformation

P88

Example-based Skinning (EBS) vs. Skeleton Subspace Deformation (SSD)

\(^\ast \)EBS: PSD
\(\quad\)

• Good: Easy to control
• Good: Good quality
• Good: Pose-dependent details (e.g. bulging muscle and extruding veins)

\(\quad\)

• Bad: Creating examples can be cumbersome
• Bad: Extra storage for examples
• Bad: Interpolation needs careful tuning

\(\quad\)

\(^\ast \)SSD: LBS, DQS, etc.
\(\quad\)

• Good: Easy to implement
• Good: Fast and GPU friendly

\(\quad\)

• Bad: Various artifacts
• Bad: Skinning weights needs careful tuning
• Bad: Hard to create pose-dependent details

P89

Example: SMPL Model

• A widely adopted human model in ML/CV
• Learned on real scan data
• Combines SSD and EBS techniques

P92

Recall: Principal Component Analysis (PCA)

• Given a dataset {\(x_i\)}, \(x_i \in \mathbb{R} ^N\), then PCA gives

$$ x_i=\bar{x}+\sum_{k=1}^{n} w_{i,k}u_k $$

• \(u_k\) is the \(k\)-th principal component
  • A direction in \( \mathbb{R} ^N\) along which the rojection of {\(x_i\)} has the \(k\)-th maximal variance
• \(w_{i,k}=(x_i-\bar{x})\cdot u_k\) is the score of \(x_i\) on \(u_k\)

P93

Recall: Principal Component Analysis (PCA)

• Given a dataset {\(x_i\)}, \(x_i \in \mathbb{R} ^N\), the PCA can be computed by apply eigen decomposition on the covariance matrix

$$ \sum =X^TX=U\begin{bmatrix} \sigma ^2_1 & & & \\ & \sigma ^2_2 & & \\ & & \ddots & \\ & & \sigma ^2_N \end{bmatrix}U^T $$

• \(X=[x_0-\bar{x}, x_1-\bar{x},\dots ,x_N-\bar{x}]^T\)

• \(\sigma _i\ge \sigma _j\ge 0\) when \(i< j\), corresponds to the Explained Variance

• \(U=[u_1,u_2,\dots,u_N]\)

P94

PCA over Body Shapes

P95

SMPL Model: Body Shape

P96

SMPL Model: Pose Blend Shapes

P97

SMPL Model: Deformation

$$ T(\beta ,\theta )=\bar{T} + \sum _ {m=1}^{|\beta |} \beta _ m S_ n + \sum _ {n=1}^{|\theta |}\theta _np_n $$

$$ x=SKIN(T(\beta ,\theta ),\theta ,w) $$

$$ SKIN:\text{LBS, DQS, etc}\dots $$

[SMPL: A Skinned Multi-Person Linear Model]

P99

Facial Animation

P101

Facial Animation

✅ \(B_j\) 与 ID 无关，能做出差不多的效果。
✅ 要更精细的效果，可以定义与 ID 相关的 \(B_j\).

P102

Facial Blendshapes

P103

A Typical Set of Blendshapes (ARKit)

P104

Blendshapes vs. Example-based Skinning

✅ 几种不同的表情基混合方式。
✅ 第二种，直接在几个脸之间做混合，适用于数据少的情况。

P105

Morphable Face Models

Egger et al. 2020. 3D Morphable Face Models - Past, Present, and Future. ACM Trans. Graph. 39, 5 (June 2020), 157:1-157:38.

✅ 第一项：平均脸。第二项：PCA. 第三项：表情基。
✅ \(B_i^{ID}\) 通常由 PCA 得到。
✅ 基于脸部肌肉的物理仿真。

P107

How to Animate a Face?

P110

Face Tracking

✅ 用一个视频人脸驱动 3D 人脸。
✅ 人脸 \(\overset{①}{\rightarrow} \) 特征点 \(\overset{②}{\rightarrow} \) 表情参数
✅ 1、提取 \(\quad\) 2、IK．

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基于动力学的角色驱动方法概览

✅ 本章定位：理解如何通过力/力矩驱动角色，生成符合物理规律的动画。

💡 运动学 vs 动力学 的详细对比参见 Introduction

本章知识框架

mindmap
基于动力学的角色驱动
   角色动力学
      仿真
      动力学基础
      关节约束
      接触
   PD 控制
      PD 控制
      PID 控制
      欠驱动问题
   轨迹优化
      优化方法
      数值计算方法
      强化学习方法
   角色控制
      传统方法
      数值方法
      强化学习

✅ 物理方法的难点： ✅ (1) 仿真：在计算机中模拟出真实世界的运行方式。 ✅ (2) 控制：生成角色的动作，来做出响应。 ✅ 角色物理动画通常不关心仿真怎么实现。 ✅ 但也可以把仿真当成白盒，用模型的方法来实现。

动力学方法的四个核心模块

理解动力学方法的四个核心模块：

┌─────────────────────────────────────────────────────────────┐
│  仿真器 (Simulation)                                        │
│  输入：力/力矩 → 输出：新状态                                │
│  核心：Mv̇ + C = f + Jᵀλ                                    │
├─────────────────────────────────────────────────────────────┤
│  底层执行 (PD Control)                                      │
│  输入：目标状态 → 输出：关节力矩 τ                            │
│  核心：τ = k_p(q* - q) + k_d(q̇* - q̇)                       │
├─────────────────────────────────────────────────────────────┤
│  中层策略 (Trajectory/Policy Generation)                    │
│  输入：任务指令 → 输出：目标轨迹/策略                         │
│  ① 轨迹优化：有参考轨迹 (CMA-ES/SAMCON)                     │
│  ② 角色控制：无参考轨迹 (ZMP/IPM/SIMBICON)                  │
│  ③ 强化学习：DeepMimic/AMP/ASE                              │
├─────────────────────────────────────────────────────────────┤
│  高层规划 (Task Planning)                                   │
│  输入：用户意图 → 输出：任务序列                              │
│  方法：有限状态机、行为树                                    │
└─────────────────────────────────────────────────────────────┘

四个模块的关系：

高层规划 → 任务指令
    ↓
中层策略 → 目标轨迹 q*, q̇*  (轨迹优化/角色控制/RL)
    ↓
底层执行 → 关节力矩 τ
    ↓
仿真器 → 新状态

本章子章节：

P4

Physics-based Simulation

✅ 本章定位：理解物理仿真器如何将力/力矩转换为关节旋转。

一、物理仿真概述

1.1 本章要解决的问题

输入：

• 当前状态：位置 \(x\)、旋转 \(R\)、速度 \(v\)、角速度 \(\omega\)
• 外力/力矩：重力、风力、关节力矩（由控制器生成）
• 约束条件：关节约束、接触约束

输出：

• 下一帧状态：新位置 \(x'\)、新旋转 \(R'\)、新速度 \(v'\)、新角速度 \(\omega'\)

核心问题：

给定关节力矩，角色为什么会这样动？

1.2 仿真器与控制器的关系

flowchart LR
    subgraph "控制器"
        C[输入：目标状态/轨迹<br/>输出：关节力矩 τ]
    end

    subgraph "仿真器"
        S[输入：关节力矩 τ<br/>输出：新状态 x', R', v', ω']
    end

    控制器 -- 关节力矩 τ --> 仿真器
    仿真器 -- 新状态<br/>x, R, v, ω --> 控制器

分工说明：

• 控制器是「逆向问题」：从目标反推力矩
• 仿真器是「前向问题」：从力矩推算运动

1.3 仿真 Pipeline

根据考虑的约束复杂度，仿真 Pipeline 分为三种：

flowchart TD
    A[当前状态<br/>x, R, v, ω]
    B[计算外力<br/>重力、风力、关节力矩τ]
    C{约束类型？}

    subgraph "Pipeline 1：无约束"
        D1[求解约束力<br/>无约束力]
    end

    subgraph "Pipeline 2：关节约束"
        D2[求解约束力 Jᵀλ<br/>关节约束方程]
    end

    subgraph "Pipeline 3：关节 + 接触"
        D3[接触检测]
        E3[求解约束力<br/>Jᵀλ + 接触力 + 摩擦力]
        D3 --> E3
    end

    A --> B
    B --> C

    C -->|无关节约束 | D1
    C -->|有关节约束 | D2
    C -->|有关节约束 + 接触 | D3

    D1 --> E[积分更新状态<br/>x' = x + v·dt<br/>R', v', ω']
    D2 --> E
    E3 --> E

Pipeline 1：不考虑关节约束

• 每个刚体独立运动
• 适用于自由物体（如抛射物）
• 不适用于角色（角色有关节连接）

Pipeline 2：考虑关节约束

• 关节约束防止刚体分离
• 需求解约束力 \(J^T\lambda\)
• 适用于 Ragdoll、无主动控制的角色

Pipeline 3：考虑关节约束 + 接触摩擦

• 接触约束防止穿透地面
• 摩擦力防止滑动
• 适用于站立、行走的角色

📚 深入学习：

• 运动方程中的力与力矩 - 外力 vs. 关节力矩的详细对比
• 前向动力学与后向动力学 - 运动方程的两种用法

角色的分段刚体表示与仿真

✅ 本章定位：理解如何将角色建模为分段多刚体系统，这是物理仿真的基础。

一、刚体动力学基础

回顾 GAMES103 内容

刚体动力学的核心公式已在 GAMES103 中详细讲解，本节只做简要回顾。

刚体运动方程：

$$ \begin{bmatrix} mI_3 & 0\\ 0 & I \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \dot{v} \\ \dot{\omega } \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 0\\ \omega \times I\omega \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} f \\ \tau \end{bmatrix} $$

深入学习：

• GAMES103 - 刚体动力学

二、角色的物理仿真表示

从角色模型到仿真模型

在物理仿真中，角色不能直接使用渲染用的 Mesh，而是需要简化为分段多刚体系统。

仿真角色的组成

Rigid bodies（刚体）:

• \(m_i, I_i\) - 质量和转动惯量
• \(x_i, R_i\) - 位置和旋转
• Geometries - 碰撞几何体（仿真中使用简单几何体代替 Mesh）

Joints（关节）:

• Position - 关节位置
• Type - 关节类型（Hinge、Universal、Ball 等，决定约束方程）
• Bodies - 连接的刚体

✅ 关节的数量比刚体的数量少 1

碰撞几何体的选择

✅ 使用简单几何体可以大幅提高碰撞检测和约束求解的效率。

在物理引擎中定义角色

在物理引擎中创建一个刚体需要提供：

Masses:     m, I           // 质量和转动惯量
Kinematics: x, v, R, ω    // 运动学状态
Geometry:   Box/Sphere/Capsule/Mesh  // 碰撞几何体
            Collision detection      // 碰撞检测
            Compute m, I             // 计算质量属性

三、分段多刚体动力学

从单刚体到多刚体

单刚体： $$ M\dot{v} + C(x,v) = f $$

其中 \(M\) 和 \(C\) 是分块对角矩阵，每个刚体独立。

✅ 两个刚体如果独立，可以以矩阵的方式扩展。
✅ 分段多刚体在公式上没有本质区别，只是矩阵更大。

对于 \(n\) 个刚体的系统：

• \(M\) 是 \(6n \times 6n\) 的分块对角矩阵
• \(C(x,v)\) 是 \(6n\) 维向量

多刚体系统的扩展

✅ 关于约束力的说明：当刚体通过关节连接时，需要添加约束力 \(J^T\lambda\)。这部分内容在后续章节详细讲解。

与后续章节的关系

约束求解专题（本节不涉及）：

• Constraints.md - 约束求解原理（小球例子）
• JointConstraint.md - 关节约束推导
• Contacts.md - 接触模型
• SimulationPipeline.md - 完整仿真流程

小结

角色物理仿真的建模流程：

角色 Mesh → 简化为刚体 → 添加关节 → 定义碰撞几何体 → 分段多刚体系统

核心公式（无约束情况）： $$ M\dot{v} + C(x,v) = f $$

✅ 本节只介绍分段多刚体的表示方法。当刚体通过关节连接时，需要添加约束力 \(J^T\lambda\)，详见后续章节。

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Constraints 简化问题分析

💡 为什么先学小球？ 接下来要介绍关节约束的求解。在讲解角色的关节约束之前，先用小球的简单例子来理解约束求解的核心思想。 小球约束与关节约束的数学形式完全相同，只是场景更简单、更容易理解。

问题描述

✅ 假设有一约束：小球必须按轨道行进。

小球速度分析

✅ 根据已知条件，可以进行以下分析：由于每一时刻都满足，对时间求导，导数为零。

其中第一项为 \(g(x)\) 的雅克比矩阵，记作 \(J\) 或 \([\nabla g]^{T}\), 第二项为 \(x\) 的速度。 因此得到约束为：如果要求小球按照轨道运行，其速度必须满足以下公式。

小球的约束力分析

✅ 为了让小球满足约束，需给小球一个约束力。

\(^\ast \) Constraint is passive No energy gain or loss!!!

$$ f_c\cdot v=0 $$

✅ 约束力不应产生能量，即力与运动方向垂直。

✅ \(J\) 本是一个矩阵，但在这个场景中 \(C\) 是常数，所以 \(J\) 是向量。 ✅ 结合是一页的结论可知：\(f_c\) 与 \(J\) 同方向，但大小未知。\(\lambda \)代表一个未知的 scale。 ✅ \(f_c\) 大小以当前状态和外力情况计算而得。

小球的整体受力分析

✅ 对小球做受力分析，受到外力 \(f\) 和约束力 \(f_c\)． ✅ 假设 \(M，x，v．f\) 已知，求 \(f_c\) ，使得小球沿轨迹移动。

$$ \begin{align*} M\dot{v} & =f+J^T\lambda \\ Jv&=0 \end{align*} $$

✅ 公式 1：\(f＝am\)．公式 2：前面推导得出。把两个公式离散化。 ✅ 假设当前时刻已满足 \(J_n v_n = 0\)，所以只约束下一时刻。

$$ \begin{align*} M\frac{v_{n+1}-v_n}{h} & =f+J^T\lambda \\ Jv_{n+1}&=0 \end{align*} $$

✅ 得出未知数为\(\lambda\)和\(v_{n+1}\)的联立方程组，求解方程组。 ✅ 因为公式 2 只约束了速度没有约束位置。离散化后对原公式只是近似，会有误差，导到小球远离曲线。 ✅ 解方程组不难，但存在小球偏离轨道的问题。

✅ 当物体偏离轨道，要把它拉回来。因此公式 2 改为：

$$ Jv_{n+1}=\alpha \frac{C-g(x_n)}{h} $$

等式右边的非零项称为 Correction of numerical errors。 𝛼: error reduction parameter (ERP)

方程组求解

✅ 把校正项简写为 \(b\). \( n \) 时刻发现的误差由 \( n+1 \) 时刻来校正。 ✅ 为了防止矩阵不可逆，增加 \(\beta I\).（常见技巧） ✅ 解 \(\lambda\) 需要先求逆。

附录：公式推导过程

目标：求解拉格朗日乘子 \(\lambda\)

已知方程组（带误差校正）：

$$ \begin{cases} \displaystyle M\frac{v_{n+1}-v_n}{h} = f + J^T\lambda \\ Jv_{n+1} = b \end{cases} $$

其中 \(b = \alpha\frac{C-g(x_n)}{h}\) 是误差校正项。

步骤 1：从运动方程解出 \(v_{n+1}\)

$$ M\frac{v_{n+1}-v_n}{h} = f + J^T\lambda $$

$$ v_{n+1}-v_n = h M^{-1}(f + J^T\lambda) $$

$$ v_{n+1} = v_n + h M^{-1}f + h M^{-1}J^T\lambda $$

令 \(v^* = v_n + h M^{-1}f\)（不含约束力的预测速度）

则： $$ v_{n+1} = v^* + h M^{-1}J^T\lambda $$

步骤 2：代入约束方程

约束方程： $$ Jv_{n+1} = b $$

代入 \(v_{n+1}\)： $$ J(v^* + h M^{-1}J^T\lambda) = b $$

展开： $$ Jv^* + h J M^{-1}J^T\lambda = b $$

步骤 3：解出 \(\lambda\)

$$ h J M^{-1}J^T\lambda = b - Jv^* $$

$$ \lambda = (h J M^{-1}J^T)^{-1}(b - Jv^*) $$

步骤 4：防止矩阵不可逆

\(J M^{-1}J^T\) 可能不可逆（例如约束冗余时），添加正则化项 \(\beta I\)：

$$ \lambda = (J M^{-1}J^T + \beta I)^{-1}(b - Jv^*) $$

最终公式

$$ \boxed{\lambda = (J M^{-1}J^T + \beta I)^{-1}(b - Jv^*)} $$

✅ 核心思想：把约束求解转化为求解拉格朗日乘子 \(\lambda\) 的线性方程组。

从小球到关节约束

小球例子的约束求解公式可以直接应用到关节约束。

关节约束的约束方程推导

✅ 关节约束：两个刚体在关节处的位置必须相同。

位置级约束： $$ x_1 + R_1 r_1 = x_2 + R_2 r_2 $$

速度级约束（对时间求导）： $$ v_1 + \omega_1 \times r_1 = v_2 + \omega_2 \times r_2 $$

矩阵形式： $$ \begin{bmatrix} I_3 & -[r_1]\times & -I_3 & [r_2]\times \end{bmatrix} \begin{bmatrix} v_1 \\ \omega_1 \\ v_2 \\ \omega_2 \end{bmatrix} = 0 $$

简化为： $$ Jv = 0 $$

✅ 数学形式完全相同：\(M\dot{v} + C = f + J^T\lambda\)，\(Jv = b\) 只是 \(J\) 的具体形式不同（小球是向量，关节是矩阵）。

深入学习：JointConstraint.md - 关节约束详细推导（各种关节的 \(J\) 矩阵构造与统一求解框架）

关节约束

💡 前置知识：关于角色的分段刚体表示，见 RigidBodyRepresentation.md

关节类型与约束方程

Ball Joint（球铰）

✅ Ball Joint 只约束位置，允许三个方向的自由旋转。

约束方程

位置级约束： $$ x_1 + R_1 r_1 = x_2 + R_2 r_2 $$

速度级约束（对时间求导）： $$ v_1 + \omega_1 \times r_1 = v_2 + \omega_2 \times r_2 $$

矩阵形式： $$ J = \begin{bmatrix} I_3 & -[r_1]\times & -I_3 & [r_2]\times \end{bmatrix} $$

$$ \begin{bmatrix} I_3 & -[r_1]\times & -I_3 & [r_2]\times \end{bmatrix} \begin{bmatrix} v_1 \\ \omega_1 \\ v_2 \\ \omega_2 \end{bmatrix} = 0 $$

简化为： $$ Jv = 0 $$

其中 \(J\) 是 \(3 \times 12\) 矩阵。

Hinge Joint（铰链）

✅ Hinge Joint 约束位置 + 2 个旋转自由度，只允许绕铰链轴旋转。

约束方程

位置级约束（同 Ball Joint）： $$ x_1 + R_1 r_1 = x_2 + R_2 r_2 $$

角速度约束（额外约束）： $$ \omega_1 \cdot a_1 = \omega_2 \cdot a_2 $$

其中 \(a_1, a_2\) 是两个刚体上的铰链轴方向向量。

矩阵形式： $$ Jv = \begin{bmatrix} J_{\text{pos}} \\ J_{\text{ang}} \end{bmatrix} v = 0 $$

其中：

• \(J_{\text{pos}}\) 是 \(3 \times 12\) 的位置约束矩阵（同 Ball Joint）： $$ J_{\text{pos}} = \begin{bmatrix} I_3 & -[r_1]\times & -I_3 & [r_2]\times \end{bmatrix} $$
• \(J_{\text{ang}}\) 是 \(2 \times 12\) 的角速度约束矩阵，约束两个刚体在垂直于铰链轴方向上的角速度分量相等： $$ J_{\text{ang}} = \begin{bmatrix} 0_3 & a_{1\perp 1}^T & 0_3 & -a_{2\perp 1}^T \\ 0_3 & a_{1\perp 2}^T & 0_3 & -a_{2\perp 2}^T \end{bmatrix} $$ 其中 \(a_{\perp 1}, a_{\perp 2}\) 是两个垂直于铰链轴的方向。

完整 $J$ 矩阵是 \(5 \times 12\)： $$ J = \begin{bmatrix} I_3 & -[r_1]\times & -I_3 & [r_2]\times \\ 0_3 & a_{1\perp 1}^T & 0_3 & -a_{2\perp 1}^T \\ 0_3 & a_{1\perp 2}^T & 0_3 & -a_{2\perp 2}^T \end{bmatrix} $$

Universal Joint（万向节）

✅ Universal Joint 约束位置 + 1 个旋转自由度，允许两个旋转自由度。

约束方程

位置级约束（同 Ball Joint）： $$ x_1 + R_1 r_1 = x_2 + R_2 r_2 $$

角速度约束（额外约束）： $$ \omega_1 \cdot a_1 = \omega_2 \cdot a_2 $$ $$ \omega_1 \cdot b_1 = \omega_2 \cdot b_2 $$

其中 \(a, b\) 是两个相互垂直的轴向，分别位于两个刚体上。

矩阵形式： $$ Jv = \begin{bmatrix} J_{\text{pos}} \\ J_{\text{ang}} \end{bmatrix} v = 0 $$

其中：

• \(J_{\text{pos}}\) 是 \(3 \times 12\) 的位置约束矩阵（同 Ball Joint）
• \(J_{\text{ang}}\) 是 \(1 \times 12\) 的角速度约束矩阵，约束两个刚体在万向节轴向上的角速度分量相等： $$ J_{\text{ang}} = \begin{bmatrix} 0_3 & a_1^T & 0_3 & -a_2^T \end{bmatrix} $$

完整 $J$ 矩阵是 \(4 \times 12\)： $$ J = \begin{bmatrix} I_3 & -[r_1]\times & -I_3 & [r_2]\times \\ 0_3 & a_1^T & 0_3 & -a_2^T \end{bmatrix} $$

Fixed Joint（固定）

✅ Fixed Joint 完全固定两个刚体，不允许任何相对运动。

约束方程

位置级约束（同 Ball Joint）： $$ x_1 + R_1 r_1 = x_2 + R_2 r_2 $$

角速度约束（全部约束）： $$ \omega_1 = \omega_2 $$

矩阵形式： $$ Jv = \begin{bmatrix} J_{\text{pos}} \\ J_{\text{ang}} \end{bmatrix} v = 0 $$

其中：

• \(J_{\text{pos}}\) 是 \(3 \times 12\) 的位置约束矩阵（同 Ball Joint）
• \(J_{\text{ang}}\) 是 \(3 \times 12\) 的角速度约束矩阵，约束两个刚体的角速度完全相同： $$ J_{\text{ang}} = \begin{bmatrix} 0_3 & I_3 & 0_3 & -I_3 \end{bmatrix} $$

完整 $J$ 矩阵是 \(6 \times 12\)： $$ J = \begin{bmatrix} I_3 & -[r_1]\times & -I_3 & [r_2]\times \\ 0_3 & I_3 & 0_3 & -I_3 \end{bmatrix} $$

运动方程 + 约束方程

无论哪种关节，都可以统一写成：

$$ \begin{align*} M\dot{v} + C(x,v) &= f + J^T\lambda \\ Jv &= 0 \end{align*} $$

✅ 联立方程组可以解出约束力 \(\lambda\) 和下一时刻的速度。

约束求解的详细推导：见 Constraints.md（小球例子）

统一约束求解框架

✅ 核心洞察：不同约束的求解公式完全一样，唯一的区别是雅克比矩阵 \(J\) 的构造。

不同关节的 \(J\) 矩阵对比

统一求解流程

无论哪种关节，都遵循相同的求解步骤：

1. 计算预测速度：\(v^* = v_n + h M^{-1}f\)
2. 构建约束雅可比 \(J\)（根据关节类型）
3. 求解拉格朗日乘子： $$ \lambda = (J M^{-1}J^T + \beta I)^{-1}(b - Jv^*) $$
4. 计算约束力：\(f_c = J^T\lambda\)
5. 更新速度：\(v_{n+1} = v^* + h M^{-1}J^T\lambda\)

✅ 物理引擎实现的关键：

• 为每种关节类型实现一个 \(J\) 矩阵构造函数
• 把所有约束的 \(J\) 行堆叠起来形成总约束矩阵
• 代入统一公式求解 \(\lambda\)

✅ 多约束同时处理：当系统有多个约束时（如多个关节 + 接触），只需将每个约束的 \(J\) 矩阵按行堆叠，公式形式不变，只是矩阵维度更大。

多个刚体与多个约束

✅ 分段多刚体系统：公式形式相同，只是矩阵维度更大。

对于 \(n\) 个刚体、\(m\) 个约束的系统：

• \(M\) 是 \(6n \times 6n\) 的分块对角矩阵
• \(J\) 是 \(m \times 6n\) 的矩阵（每个约束贡献若干行）

关节力矩

关节力矩的详细介绍：见 JointTorques.md

✅ 关节力矩是主动控制力矩，用于驱动角色运动。在运动方程中： $$ M\dot{v} + C(x,v) = f_{\text{ext}} + f_{\text{joint}} + J^T\lambda $$ 其中 \(f_{\text{joint}}\) 是关节力矩（主动），\(J^T\lambda\) 是约束力（被动）。

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关节力矩（Joint Torques）

🛈 前置知识：关于关节约束的数学形式，见 JointConstraint.md

:::info 核心要点

1. 关节力矩是主动控制输入，用于驱动角色运动
2. 施加方式：在一个刚体上加 $\tau$，另一个加 $-\tau$
3. 与外力不同：关节力矩只产生旋转，不产生平移

:::

什么是关节力矩

关节力矩（Joint Torques） 是角色控制中的核心概念。它是在关节上施加的主动控制力矩，用于驱动角色运动。

物理意义

✔ 关节力矩可以看作是一个刚体对另一个刚体在关节处施加的成对的力。

关键性质：

1. 合力为零（牛顿第三定律）： $$ \sum_{i} f_i = 0 $$

2. 合力矩不为零：每个力作用点不同，会对质心产生力矩

3. 力矩与关节位置无关：只与力的分布有关

为什么不能只用外力，而需要关节力矩？

💡 常见问题：既然外力 $f$ 也能产生力矩（$\tau = r \times f$），为什么还需要专门的关节力矩 $\tau$？直接在外力 $f$ 中施加力，然后求解方程组不就可以了吗？

这是一个非常深刻的问题。答案是：外力 $f$ 和关节力矩 $\tau$ 作用在不同的方向上，效果完全不同。

1. 外力的效果：平动 + 转动

在刚体上某点施加外力 $f$（作用点距离质心为 $r$）：

$$ \text{线加速度：} \quad a = \frac{f}{m} $$

$$ \text{角加速度：} \quad \tau = r \times f $$

外力同时产生：

• ✅ 线加速度（质心平动）
• ✅ 角加速度（绕质心旋转）

2. 关节力矩的效果：纯转动

关节力矩 $\tau$ 直接作用在关节自由度上：

$$ \text{角加速度：} \quad \alpha = I^{-1}\tau $$

关节力矩只产生：

• ❌ 无线加速度
• ✅ 只有角加速度（绕关节旋转）

3. 问题 1：外力无法产生"纯旋转"

场景：想让前臂绕手肘旋转（比如弯曲手臂）

用外力 $f$

     施加力 f
        ↓
    ┌────┐
    │前臂│
    └────┘
       ↖
      手肘

• 力 $f$ 作用在前臂上 → 前臂既旋转又平移
• 但手肘关节有约束力 $J^T\lambda$ → 防止平移
• 结果：约束力会抵消大部分外力

问题：大部分外力被约束力"浪费"了，效率极低。

用关节力矩 $\tau$

        τ
    ┌────┐
    │前臂│
    └────┘
       ↖
      手肘

• 力矩 $\tau$ 直接作用在手肘关节
• 只产生旋转，不产生平移
• 约束力不需要抵消任何东西

优势：能量直接用于旋转，效率高。

4. 问题 2：生物力学的真实性

肌肉如何工作

肌肉附着在骨骼上，收缩时：

     肌肉收缩
    ↙      ↘
━━━┻━━━━━━━━┻━━━
  骨骼 1    骨骼 2
     ↖    ↗
      关节

• 肌肉拉力是内力（成对出现，合力为零）
• 但产生力矩（因为作用点不同）
• 效果：关节旋转，但身体质心不受直接影响

用外力模拟肌肉的缺陷

如果用力 $f$ 模拟肌肉：

• 需要在两个刚体上分别施加 $f$ 和 $-f$
• 必须保证作用点精确，否则会产生不期望的平移
• 计算复杂，且不符合生物力学

用关节力矩的优势

关节力矩直接抽象了肌肉的作用：

• 自动满足合力为零（$\tau$ 和 $-\tau$）
• 直接驱动关节旋转
• 符合生物力学直觉

5. 问题 3：约束力与关节力矩作用方向正交

约束力只在约束方向上有力

$$ Jv = 0 \quad \Rightarrow \quad f_c = J^T\lambda $$

约束力 $J^T\lambda$ 只在被约束的方向上有分量。

关节力矩在允许的自由度上作用

关键：关节力矩作用在允许运动的方向上，约束力作用在被约束的方向上。两者正交，互不干涉。

6. 问题 4：数学上可行，但物理上低效

如果只用力，能解出方程吗？

数学上：可以

$$ M\dot{v} + C = f + J^T\lambda $$

给定 $f$，求解 $\lambda$ 和 $\dot{v}$，数学上完全可行。

物理上：效率低且不自然

7. 直观类比：推门 vs. 扭门把手

关节力矩就像"门把手"，直接作用在旋转自由度上。

8. 总结：外力 vs. 关节力矩

✔ 结论：外力 $f$ 和关节力矩 $\tau$ 不等价。外力会产生不期望的平移，需要约束力抵消；关节力矩直接驱动旋转，更符合控制和生物力学的需求。

关节力矩的数学推导

从力到力矩的转化

考虑两个刚体通过关节连接，在关节处施加一对大小相等、方向相反的力 $f_i$。

对刚体 1 的力矩： $$ \tau_1 = \sum_{i} (r_1 + r_i) \times f_i = r_1 \times \sum_{i} f_i + \sum_{i} r_i \times f_i $$

由于 $\sum_{i} f_i = 0$，得： $$ \tau_1 = \sum_{i} r_i \times f_i $$

对刚体 2 的力矩： $$ \tau_2 = -\sum_{i} r_i \times f_i = -\tau_1 $$

✔ 结论：在关节上施加力矩 $\tau$ 等价于：

• 在一个刚体上施加 $\tau$
• 在另一个刚体上施加 $-\tau$

在运动方程中施加关节力矩

两刚体系统

对于两个刚体通过关节连接的系统，运动方程为：

$$ M\begin{bmatrix} \dot{v}_1 \\ \dot{\omega}_1 \\ \dot{v}_2 \\ \dot{\omega}_2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ \omega_1 \times I_1 \omega_1 \\ 0 \\ \omega_2 \times I_2 \omega_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ \tau \\ 0 \\ -\tau \end{bmatrix} + J^T\lambda $$

$$ Jv = 0 $$

✔ 惯例：通常在子刚体上加 $\tau$，在父刚体上加 $-\tau$。

关节力矩 vs. 约束力

理解关节力矩与约束力的区别是理解角色仿真的关键：

关节力矩在控制中的位置

1. 驱动角色运动

关节力矩是角色运动的直接驱动力：

• 行走时腿部关节的力矩
• 抓取时手臂关节的力矩
• 转身时躯干关节的力矩

2. 与肌肉的关系

在生物力学中，关节力矩对应肌肉收缩产生的力矩：

• 伸肌群收缩 → 伸展关节
• 屈肌群收缩 → 弯曲关节

3. 在控制中的位置

$$ \text{控制器} \xrightarrow{\text{生成}} \tau \xrightarrow{\text{仿真}} \text{运动} $$

• PD 控制：根据期望角度和当前角度计算 $\tau$
• 轨迹优化：优化 $\tau$ 序列以实现目标运动
• 强化学习：学习策略网络输出 $\tau$

多刚体系统的关节力矩

对于 $n$ 个刚体、$m$ 个关节的系统：

$$ M\dot{v} + C(x,v) = f_{\text{ext}} + f_{\text{joint}} + J^T\lambda $$

其中 $f_{\text{joint}}$ 是所有关节力矩的堆叠向量。

✔ 关键点：每个关节力矩 $\tau_i$ 只影响其连接的两个刚体，一个加 $\tau_i$，另一个加 $-\tau_i$。

下一步：如何计算关节力矩？

本章介绍了关节力矩是什么，但还有一个关键问题：给定目标状态，如何计算需要的关节力矩 $\tau$？

这将在 Proportional-Derivative Control 中详细讲解。

核心思想（PD 控制）： $$ \tau = k_p (\theta_{\text{des}} - \theta_{\text{curr}}) + k_d (\dot{\theta}{\text{des}} - \dot{\theta}{\text{curr}}) $$

小结

关节力矩的核心要点：

1. 物理本质：成对的内力矩，合力为零，合力矩不为零
2. 施加方式：在一个刚体上加 $\tau$，另一个加 $-\tau$
3. 控制作用：主动驱动角色运动的输入
4. 与约束力的区别：$\tau$ 是主动的，$J^T\lambda$ 是被动的
5. 与外力的区别：关节力矩只产生旋转，外力产生平动 + 旋转

运动方程的统一形式： $$ M\dot{v} + C(x,v) = f_{\text{ext}} + f_{\text{joint}} + J^T\lambda $$

$$ Jv = 0 $$

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运动方程中的力与力矩

✅ 本章定位：澄清物理仿真运动方程中 力 和 力矩 的来源与含义。

一、力与力矩的作用效果

施加力/力矩会得到的效果

力加在质心上，只会导致平移，不会导致旋转。
✂ 在物体边缘施加力，等价于在质心施加力，并施加一个导致旋转的力矩。
✂ 在质心上施加一个力矩，等价于施加一对大小相同方向相反的力。在质心处的合力为零，不会产生位移，只会产生旋转。 ✂ 力矩只是数学上的概念。

怎么对角色产生效果

✂ 想让角色做指定动作，不能直接修改其状态，而是控制力影响状态。

✂ 为了驱动角色，可以单独对每个刚体施加力或力矩。
✂ 也可以在关节上施加力矩。

✂ 回顾前面公式，力和力矩都是施加在刚体上的，如何施加在关节上？

二、运动方程回顾

对于有 \(n\) 个刚体、\(m\) 个关节的角色系统，运动方程为：

$$ M\dot{v} + C(x,v) = f_{\text{ext}} + f_{\text{joint}} + J^T\lambda $$

$$ Jv = 0 $$

方程中有三个力/力矩项，它们的来源和含义完全不同：

三、外力 (f_{\text{ext}})

定义

外力 是来自角色外部的力，包括：

外力的效果

外力作用在刚体上，会同时产生两种效果：

     外力 f
       ↓
   ┌───────┐
   │ 刚体  │ ← 质心
   └───────┘
       ↑
      r (作用点距离质心)

平移效果（无论作用在哪里）： $$ a = \frac{f_{\text{ext}}}{m} $$

旋转效果（仅当不经过质心时）： $$ \tau_{\text{ext}} = r \times f_{\text{ext}} $$

✅ 关键：外力产生的力矩 \(\tau_{\text{ext}}\) 已经包含在 \(f_{\text{ext}}\) 中，不需要单独列一项。

重要性质

四、关节力矩 (f_{\text{joint}})

定义

关节力矩 是控制器生成的主动控制输入，用于驱动角色运动：

$$ f_{\text{joint}} = \begin{bmatrix} 0 & \tau_1 & 0 & -\tau_1 & \cdots \end{bmatrix}^T $$

来源

施加方式

关节力矩 \(\tau\) 作用在关节连接的两个刚体上：

        τ (子刚体)
    ┌────┐
    │前臂│  ← 子刚体
    └────┘
       ↖
      手肘关节
    ┌────┐
    │上臂│  ← 父刚体
    └────┘
       -τ (父刚体)

规则：

• 在子刚体上加 \(\tau\)
• 在父刚体上加 \(-\tau\)
• 合力为零：\(\tau + (-\tau) = 0\)（满足牛顿第三定律）

关节力矩的效果

关节力矩只产生纯旋转，不产生平移：

$$ \alpha = I^{-1}\tau $$

✅ 与外力的区别：外力同时产生平动和转动，关节力矩只产生转动。

重要性质

五、两种力矩的对比

外力产生的力矩 vs. 关节力矩

直观类比

六、无控制器时的情况（Ragdoll）

运动方程

当没有控制器时：

$$ f_{\text{joint}} = 0 $$

方程简化为：

$$ M\dot{v} + C(x,v) = f_{\text{ext}} + J^T\lambda $$

为什么 Ragdoll 的关节会旋转？

即使 \(f_{\text{joint}} = 0\)，Ragdoll 仍然会运动，原因是：

1. 外力（重力）作用在每个刚体上
2. 外力不经过质心时产生力矩（在 \(f_{\text{ext}}\) 中）
3. 关节约束限制刚体不分离，但允许绕关节旋转
4. 结果：刚体绕关节被动旋转

被动旋转 vs. 主动旋转

七、总结

关键要点

1. \(f_{\text{ext}}\)（外力）：

   • 来自外部环境（重力、风力、接触力）
   • 包含外力产生的力矩（\(r \times f\)）
   • 无控制器时仍然存在

2. \(f_{\text{joint}}\)（关节力矩）：

   • 来自控制器（肌肉、电机）
   • 只包含控制器主动生成的力矩
   • 不包含外力产生的力矩
   • 无控制器时为零

3. 外力产生的力矩永远在 \(f_{\text{ext}}\) 中，与 \(f_{\text{joint}}\) 无关。

一张表理解

$$ \begin{array}{c|c|c} \text{项} & \text{包含什么} & \text{无控制器时} \ \hline f_{\text{ext}} & \text{外力 + 外力产生的力矩} & \text{仍然存在} \ f_{\text{joint}} & \text{仅控制器生成的关节力矩} & 0 \ J^T\lambda & \text{约束力求解结果} & \text{仍存在（维持约束）} \ \end{array} $$

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八、前向动力学与后向动力学

Forward Dynamics vs. Inverse Dynamics

✂ 运动方程，本质上是建立力与加速度之间的联系。 ✂ 前向与后向，是一个运动方程的两种用法。 ✂ 仿真器为前向部分，控制器为逆向部分。

前向动力学（Forward Dynamics）

已知：力/力矩 \(f, \tau\)

求解：加速度 \(\dot{v}\)

$$ \dot{v} = M^{-1}(f_{\text{ext}} + f_{\text{joint}} + J^T\lambda - C(x,v)) $$

用途：

• 物理仿真器
• 给定控制输入，预测角色会如何运动

后向动力学（Inverse Dynamics）

已知：加速度 \(\dot{v}\)（期望的运动）

求解：力/力矩 \(f, \tau\)

$$ f_{\text{joint}} = M\dot{v} + C(x,v) - f_{\text{ext}} - J^T\lambda $$

用途：

• 控制器设计
• 给定目标运动，计算需要的关节力矩

对比

✅ 关键：前向和后向是同一个运动方程的两种用法，只是已知量和求解量不同。

Contacts

✔ 如何处理与地面的接触，让人站在地面上。

✔ 要解决的问题：

1. 地面接触检测：检测哪些点/面与地面接触
2. 接触力施加：如何对碰撞点施加力，使物体不陷入地面

💡 与 GAMES103 的分工

• GAMES103 - 碰撞检测与响应：详细介绍碰撞检测算法（Broad Phase、Narrow Phase、GJK、CCD）和穿透解除方法（内点法、Impact Zone）
• GAMES105 - 接触约束求解：focus 在如何将接触建模为约束，并与关节约束统一求解

深入学习：

• GAMES103 - 刚体的碰撞检测
• GAMES103 - 内点法
• GAMES103 - 碰撞响应总结

方法一：Penalty-based Contact Model（基于惩罚的接触模型）

基本思想

用弹簧 - 阻尼模型近似接触力：当物体穿透地面时，产生一个与穿透深度成正比的斥力。

$$ f_n = -k_p d - k_d v_{c,\perp} $$

✔ 效果：会有一些陷入，但不会陷入太多 ❐ 支持力竟然不是 $-mg$，而是由弹簧模型决定

考虑摩擦力

动摩擦力模型： $$ f_t = -\mu f_n \frac{v_{c,\parallel}}{||v_{c,\parallel}||} $$

✔ 一般不模拟静摩擦力

存在的问题

💡 与 GAMES103 内点法的关系

GAMES103 中介绍的**内点法（Interior Point Methods）**使用了类似的惩罚思想，但用能量场定义斥力：

$$ E(\mathbf{x}) = -\rho \log ||\mathbf{x}_{ij}|| $$

$$ \mathbf{f} = -\nabla E = \rho \frac{\mathbf{x}{ij}}{||\mathbf{x}{ij}||^2} $$

两种方法本质相同：距离越近，斥力越大。GAMES105 使用简化的弹簧模型，更易于理解。

方法二：Contact as a Constraint（接触作为约束）

✔ 另一种方法，把接触建模为数学约束，与关节约束统一求解。

接触点状态分析

接触点 $x_c$ 的位置表示： $$ x_c = x + r_c $$

接触点 $x_c$ 的速度表示： $$ v_c = v + \omega \times r_c = J_c \begin{bmatrix} v \\ \omega \end{bmatrix} $$

接触点法向速度： $$ v_{c,\perp} = J_{c,\perp} \begin{bmatrix} v \\ \omega \end{bmatrix} $$

接触点约束分析

✔ 约束 1：点在竖直方向的速度必须 $\geq 0$，即只能向上移动（不能向下穿透）。

✔ 约束 2：力的大小 $\lambda > 0$，只能推，不能拉。$\lambda$ 是力与速度的大小比例系数。

✔ 约束 3：力和速度只能有一个不为零，否则会做功（互补条件）。

$$ v_c \perp \lambda = 0 $$

线性互补问题（LCP）

✔ 合在一起称为线性互补方程，是碰撞建模的标准方式。

这类问题被称为：(Mixed) Linear Complementary Problem (LCP)

解 LCP 的方法有：

• Lemke's algorithm – a simplex algorithm
• Projected Gauss-Seidel
• 其他数值优化方法

❐ 这个方程比较难解，计算成本高于 Penalty 方法

考虑摩擦力的约束问题

How to deal the friction?

🔍 推荐阅读：Fast contact force computation for nonpenetrating rigid bodies. David Baraff. SIGGRAPH '94

✔ 该论文提出了快速实现静摩擦约束的建模方法。

两种方法对比

在运动方程中的位置

对于有接触的角色系统，运动方程为：

$$ M\dot{v} + C(x,v) = f_{\text{ext}} + f_{\text{joint}} + J_{\text{contact}}^T \lambda_{\text{contact}} $$

$$ J_{\text{contact}} v \geq 0, \quad \lambda_{\text{contact}} \geq 0, \quad (J_{\text{contact}} v) \perp \lambda_{\text{contact}} $$

✔ 关键：接触约束与关节约束形式统一，可以同时求解！

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仿真流程总结

✅ 本章定位：串联整个物理仿真章节，展示完整的仿真 Pipeline。

💡 前置知识：关于角色的分段刚体表示，见 RigidBodyRepresentation.md

完整仿真 Pipeline

✅ 角色仿真的完整流程：

1. 计算当前状态 - 位置、速度、约束信息
2. 计算外力 - 重力、风力、关节力矩（由控制器生成）
3. 检测约束 - 关节约束、接触约束
4. 求解约束力 - 解出 \(\lambda\)，计算 \(J^T\lambda\)
5. 积分更新状态 - 更新位置、速度

仿真方程

分段多刚体系统（详见 RigidBodyRepresentation.md）：

$$ M\dot{v} + C(x,v) = f + J^T\lambda $$

仿真流程详解

步骤 1：计算外力

✅ 外力包括：

• 重力：\(mg\)
• 风力等其他外力
• 关节力矩：由控制器（如 PD 控制）生成

步骤 2：约束求解

关节约束（详见 JointConstraint.md）：

• 防止刚体分离
• 求解 \(J^T\lambda\)

接触约束（详见 Contacts.md）：

• 防止穿透地面
• 摩擦力防止滑动

步骤 3：积分更新

✅ 把人简化为分段刚体。整体过程为：

• (1) 黄：计算当前状态
• (2) 绿：计算约束，求解，解出下一时刻的速度
• (3) 蓝：更新下一时刻的量（积分）

本章小结

核心公式： $$ M\dot{v} + C(x,v) = f + J^T\lambda $$

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PD 控制

✅ 本章定位：理解如何设计和应用 PD 控制器，将目标状态转换为关节力矩。

在控制系统中的位置

flowchart TD
    subgraph "高层：任务规划"
        A["做什么动作？<br/>有限状态机、行为树"]
    end

    subgraph "中层：轨迹生成/策略学习"
        B["如何生成目标动作？<br/>轨迹优化、DeepMimic、AMP"]
    end

    subgraph "底层：执行控制 (本章)"
        C["如何计算关节力矩？<br/>PD 控制"]
    end

    subgraph "仿真器"
        D["物理仿真<br/>Mv̇ + C = f + Jᵀλ"]
    end

    A -->|动作指令 | B
    B -->|目标状态 q*, q̇* | C
    C -->|关节力矩 τ | D
    D -->|当前状态 q, q̇ | C
    D -->|新状态 | A

PD 控制的输入输出：

• 输入：目标状态 \(q^, \dot{q}^\) + 当前状态 \(q, \dot{q}\)
• 输出：关节力矩 \(\tau\) → 送入仿真器

与仿真器的关系

分工说明：

• 控制器是「逆向问题」：从目标反推力矩
• 仿真器是「前向问题」：从力矩推算运动

✅ 详细讲解见 角色物理仿真基础

本章内容导航

本章重点问题

1. PD 参数如何调优？

   • \(k_p\) 太小：无法达到目标
   • \(k_p\) 太大：角色僵硬
   • \(k_d\) 太小：振荡
   • \(k_d\) 太大：响应慢

2. 欠驱动系统如何处理？

   • 人形角色是欠驱动系统（无法直接控制质心位置）
   • 解决方案：净外力（root force/torque）

3. 稳态误差如何解决？

   • PD 控制需要误差才能产生力
   • 解决方案：增大 \(k_p\) 或使用前馈补偿

4. 如何保证数值稳定性？

   • 高增益需要小时间步长
   • 解决方案：隐式欧拉（Stable PD）

补充概念

Fully-Actuated vs. Underactuated

在上一节中，\(f\) 与 \(V\) 的自由度可能是不同的。\(f\) 是关节数\( × 3\)，\(V\) 是刚体数\( × 3\)。

If #actuators ≥ #dofs, the system is fully-actuated	If #actuators < #dofs, the system is underactuated
For any \([x,v,\dot{v} ]\), there exists an \(f\) that produces the motion	For many \([x,v,\dot{v} ]\) , there is no such \(f\) that produces the motion
✅ 可以精确控制机械臂到达目标状态。	✅ 不借助外力情况，人无法控制 Hips 的状态（位置）。

✅ ＃actuators：\(f \) 和 \(\tau \) 的自由度。 ✅ #dofs：角色状态的自由度。 ✅ 避免让角色掉入无法控制的状态。

✅ 深入学习：欠驱动系统问题 - 详细讲解人形角色为什么是欠驱动系统以及解决方案。

Feedforward vs. Feedback

驱动角色运动的控制器是通过优化目标函数产生的。

深入学习：DeepMimic | AMP | ASE

P55

Proportional-Derivative Control

这是一种常用的控制器。

✅ 有反馈，但还是算是前向控制，因为反馈的部分和想控制的部分不完全一致。

这一页先用一个简化问题来分析PD控制

问题描述

Compute force \(f\) to move the object to the target height

✅ 例子：物体只能沿竿上下移动，且受到重力。
✅ 控制目的：设计控制器，使物体在控制力的作用下达到目标高度。

使用比例控制

实际上：会产生上下振荡，不会停在目标位置。

P56

比例控制+Damping

✅ 改进：如果物体已有同方向速度，则力加得小一点。

P57

比例微分控制

✅ 第一项：比例控制；第二项：微分控制

P59

✅ 存在的问题：为了抵抗重力，一定会存在这样的误差。

P60

Increase stiffness \(k_p\) reduces the steady-state error, but can make the system too stiff and numerically unstable

✅ 增加 \(k_p\) 可以减小误差，但会让人看起来很僵硬。

P61

比例积分微分控制 Proportional-Integral-Derivative controller

✅ 解决误差方法：积分项。
✅ 但角色动画通常不用积分项。
✅ 积分项跟历史相关，会带来实现的麻烦和控制的不稳定。

Stable PD Control

✅ PD control 的过程类似于一个弹簧系统。
✅ 因此利用弹簧系统中的半隐式欧拉来提升 PD 的稳定性。

显式欧拉的PD控制的稳定性分析

✅ \(h\) 为时间步长。
✅ (1) 假设 \(m＝1\) (2) 代入 \(f\) 到方程组 (3) 方程组写成矩阵形式，得：

P11

$$ \begin{bmatrix} v_{n+1}\\ x_{n+1} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1-k_dh & -k_ph\\ h(1-k_dh) & 1-k_ph^2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} v_n \\ x_n \end{bmatrix} $$

P14
提取常数方程A，得：

$$ A=\begin{bmatrix} 1-k_dh & -k_ph\\ h(1-k_dh) & 1-k_ph^2 \end{bmatrix} $$

\(\lambda _1,\lambda _2 \in \mathbb{C} \) are eigenvalues of \(A\)

✅ 基于中间变是 \(z_n\) 推导的过程跳过。
✅ 根据矩阵特征值的性质可直接得出结论。

if \(|\lambda _1|> 1\)

The system is unstable!

Condition of stability: \(|\lambda _i|\le 1 \text{ for all } \lambda _i\)

✅ 如果 \(k_p\) 和 \(k_d\) 变大，就必须以一个较小的时间步长进行仿真。

P22

隐式欧拉的PD控制

✅ 解决方法：半隐式欧拉 → 隐式欧拉，即用下一时刻的力计算下一时刻的速度。

• 半隐式欧拉

$$ \begin{align*} v_{n+1} & = v_n+h(-k_px_n-k_dv_n) \\ v_{n+1} & = x_n+hv_{n+1} \end{align*} $$

$$ \Downarrow $$

• 隐式欧拉

$$ \begin{align*} v_{n+1} & = v_n+h(-k_px_n-k_dv_{n+1}) \\ x_{n+1} & = x_n+hv_{n+1} \end{align*} $$

✅ 实际上，计算 \(f_{n＋1}\) 只使用 \(V_{n＋1}\) , 不使用 \(x_{n＋1}\) , 因为 \(x_{n＋1}\) 会引入非常复杂的计算。
✅ 由于 \(v_{n＋1}\) 未知，需通过解方程组来求解。

P23
得到的方程组为：

$$ \begin{bmatrix} v_{n+1} \\ x_{n+1} \end{bmatrix}=\frac{1}{1+hk_d} \begin{bmatrix} 1 & -k_ph\\ h & 1+k_dh-k_ph^2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} v_n\\ x_n \end{bmatrix} $$

✅ \(v_{n}\) 换成 \(v_{n＋1}\) ，很大承度上提高了稳定性。

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P3

PD Control for Characters

✅ 前面是 PD 的例子，这里是 PD 在物理仿真角色上的应用，计算在每个关节上施加多少力矩。

控制系统层次：PD 控制属于底层执行控制，输入是目标关节位置 $q^$ 和速度 $\dot{q}^$，输出是关节力矩 $\tau$。

中层策略：轨迹优化或 DeepMimic/AMP/ASE 等学习方法输出 PD 的目标 $q^*$。

深入学习: DeepMimic | AMP | ASE

✅ 通常目标的速度 \(\dot{\bar{q}} = 0\).

因此：

P63

PD Control for Characters 的参数和效果

✅ \(K_p\) 太小：可能无法达到目标状态。 ✅ \(K_p\) 太大：人体很僵硬。 ✅ \(k_d\) 太小：动作有明显振荡。 ✅ \(k_d\) 太大，要花更多时间到达目标资态。

• Determining gain and damping coefficients can be difficult…

  • A typical setting \(k_p\) = 200, \(k_d\) = 20 for a 50kg character
  • Light body requires smaller gains
  • Dynamic motions need larger gains

• High-gain/high-damping control can be unstable, so small times is necessary

  • \(h\) = 0.5~1ms is often used, or 1000~2000Hz
  • \(h\) = 1/120s~1/60s, or 120Hz/60Hz with Stable PD
  • Higher gain/damping requires smaller time step

P66

P72

欠驱动系统问题

✅ 详细说明：参见 欠驱动系统问题

由于是欠驱动系统，Tracking Mocap with Joint Torques 会遇到问题，因为：

• \(\tau _j\): joint torques
• Apply \(\tau _j\) to "child" body
• Apply \(-\tau _j\) to "parent" body
• All forces/torques sum up to zero

✅ 合力为零，无法控制整体的位置和朝向。 ✅ 解决方法：增加净外力（Root Force/Torque），详见 欠驱动系统问题

稳态误差问题

✅ 详细说明：参见 稳态误差问题

PD control computes torques based on errors

Steady state error

This arm never reaches the target angle under gravity

在角色上的表现就是 Motion falls behind the reference

✅ 核心问题：需要有误差才能计算 force，有了 force 才能控制。 ✅ 解决方法：增大 \(k_p\)、Stable PD、前馈补偿，详见 稳态误差问题

前馈控制 vs. 反馈控制

✅ 详细说明：参见 前馈与反馈控制

Is PD control a feedforward control? a feedback control?

答案：取决于观察层次

✅ 深入学习：前馈与反馈控制 - 详细讲解两者的区别、组合控制方案、以及在 DeepMimic/AMP 中的应用。

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欠驱动系统问题（Underactuated System）

✅ 本章定位：理解人形角色为什么是欠驱动系统，以及 PD 控制如何处理这个问题。

一、什么是欠驱动系统

定义

数学表述：

$$ f, \tau \text{ 的自由度} < V \text{ 的自由度} $$

其中：

• \(f, \tau\)：可主动控制的力/力矩
• \(V\)：角色状态的自由度

二、人形角色为什么是欠驱动系统

自由度分析

对于一个人形角色：

关键问题

无法直接控制质心位置：

     关节力矩 τ
        ↓
    只能控制关节旋转
        ↓
    无法直接控制 Hips 位置
        ↓
    需要借助外力（地面反作用力）

三、欠驱动带来的控制挑战

问题 1：无法直接控制质心

场景：想让角色向前走

❌ 错误思路：
   直接控制 Hips 向前移动 → 做不到！

✅ 正确思路：
   1. 用关节力矩 \\(\tau\\) 驱动腿部关节
   2. 脚对地面施加力
   3. 地面反作用力推动质心向前

问题 2：PD 控制的局限性

PD 控制公式：

$$ \tau = k_p (\theta_{\text{des}} - \theta_{\text{curr}}) + k_d (\dot{\theta}{\text{des}} - \dot{\theta}{\text{curr}}) $$

局限性：

• PD 控制只能控制关节角度
• 无法直接控制质心位置
• 质心运动是关节运动的间接结果

四、与完全驱动系统的对比

完全驱动系统（如机械臂）

     基座固定
        ↓
   所有关节都可控
        ↓
   可直接控制末端执行器位置

欠驱动 vs. 完全驱动

If #actuators \(\geq\) #dofs, the system is fully-actuated	If #actuators \(<\) #dofs, the system is underactuated
For any \([x,v,\dot{v}]\) , there exists an \(f\) that produces the motion	For many \([x,v,\dot{v}]\) , there is no such \(f\) that produces the motion
✅ 可以精确控制机械臂到达目标位置。	✅ 不借助外力情况，人无法控制 Hips 的位置。

✅ ＃actuators：\(f\) 和 \(\tau\) 的自由度。 ✅ #dofs：角色状态的自由度。

五、解决方案

方案 1：净外力（Root Force/Torque）

核心思想：在根节点（Hips）上施加虚拟的力和力矩。

$$ \tau_{\text{root}} = k_p (x_{\text{des}} - x_{\text{curr}}) + k_d (\dot{x}{\text{des}} - \dot{x}{\text{curr}}) $$

说明：

• 虚拟力，不真实存在
• 用于计算期望的地面反作用力
• 在优化框架中常用

方案 2：动量控制（Momentum Control）

核心思想：通过控制动量来间接控制质心。

$$ \frac{d}{dt}(m \dot{x}{\text{com}}) = \sum f{\text{ext}} $$

说明：

• 质心动量变化率 = 外力之和
• 通过控制地面反作用力来控制质心

方案 3：分层控制（Hierarchical Control）

核心思想：高层规划质心轨迹，低层用 PD 控制关节。

高层控制器
    输入：任务目标
    输出：质心轨迹、步法计划
    ↓
低层控制器（PD）
    输入：质心轨迹、当前状态
    输出：关节力矩 \\(\tau\\)

六、实际应用中的处理

DeepLoco 的分层架构

flowchart TB
    Terrain["32×32 地形图"] --> HLC["高层控制器 HLC<br/>2Hz 规划步法"]
    HLC -->|"p̂₀, p̂₁, θ̂_root"| LLC["低层控制器 LLC<br/>30Hz 执行动作"]
    LLC --> PD["PD 控制器"]
    PD --> Sim["物理仿真"]

DeepMimic 的相位条件化

$$ \phi_t = (t \mod T_{\text{cycle}}) / T_{\text{cycle}} $$

核心思想：用相位变量隐式编码质心运动规律。

七、欠驱动系统的控制难点总结

八、与稳态误差问题的关系

欠驱动系统问题和稳态误差问题是 PD 控制在角色动画中的两大核心挑战：

关系：

• 欠驱动问题是结构性问题（系统本身特性）
• 稳态误差问题是控制器设计问题（PD 控制局限）

九、关键要点总结

1. 人形角色是欠驱动系统：无法直接控制质心位置
2. PD 控制只能控制关节：质心运动是间接结果
3. 需要借助外力：地面反作用力是控制质心的关键
4. 分层控制是主流方案：高层规划质心，低层控制关节
5. 与稳态误差问题并列：是 PD 控制在角色控制中的两大挑战

📚 深入学习：

• Controlling Characters - PD 控制在角色上的应用
• Static Balance - 静态平衡中的控制策略
• DeepLoco - 分层控制案例

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稳态误差问题（Steady-State Error）

✅ 本章定位：理解 PD 控制中稳态误差的产生原因、表现形式和解决方案。

一、什么是稳态误差

定义

稳态误差（Steady-State Error） 是指系统达到稳定状态后，实际输出与期望目标之间仍然存在的误差。

$$ e_{ss} = \lim_{t \to \infty} (q_{\text{des}}(t) - q_{\text{curr}}(t)) $$

PD 控制的稳态误差问题

PD 控制公式：

$$ \tau = k_p (\theta_{\text{des}} - \theta_{\text{curr}}) + k_d (\dot{\theta}{\text{des}} - \dot{\theta}{\text{curr}}) $$

核心问题：

• PD 控制需要误差才能产生力矩
• 当误差为零时，输出力矩也为零
• 但在有外力（如重力）的情况下，需要非零力矩才能维持平衡

二、直观例子：受重力影响的机械臂

问题演示

     目标角度
        ↓
    ┌───┴───┐
    │  臂   │ ← 当前角度（受重力影响下垂）
    └───┬───┘
        ↓
      重力