向量

全篇以2D为例，但对高维同样适用。

向量性质 [07：54]

• 方向: $B - A$ 或 $\vec{a}$

• 长度：$||B-A ||$ 或 $||\vec{a}||$ (与起点无关)

• 单位向量：$\vec{a}=\frac{\vec{a}}{||\vec{a}||}$，模长为1，通常用于表示方向

向量是一维的，分为向量和列向量。如果没有特殊说明，一般默认为列向量。 所以书写公式时，一个向量写为 $\vec{a}=\left( x, y \right) ^T$，其长度为$||\vec{a}|| = \sqrt{x^2 + y^2}$

向量加法

代数意义

$$\vec{a}=\left( x_1, y_1 \right) ^T , \vec{b}=\left( x_2, y_2 \right) ^T$$

$$\vec{a}+\vec{b}=\left( x_1+x_2, y_1+y_2 \right) ^T$$

几何意义

向量点乘

几何意义

$$\vec{a}\cdot \vec{b}=||\vec{a}||\cdot ||\vec{b}||\cdot \cos <\vec{a}, \vec{b}>$$

向量点乘的结果是标量

📌补充： 由 $\vec{a}$ 到 $\vec{b}$ 的夹角 $<\vec{a},\vec{b}>$ 是 $\theta$ , 如果是由 $\vec{b}$ 到 $\vec{a}$ 的夹角 $<\vec{b}, \vec{a}>$ , 则为 $-\theta$ 。由于cos是关于x轴对称的，因此$a \dot b = b \dot a$

代数意义

$$\vec{a}=\left( x_1, y_1 \right) ^T , \vec{b}=\left( x_2, y_2 \right) ^T$$

$$\vec{a}\cdot \vec{b}=x_1x_2+y_1y_2$$

性质

• 交换律：$\vec{a}\cdot \vec{b}=\vec{b}\cdot \vec{a}$

• 分配律： $\vec{a}\cdot(\vec{b}+\vec{c})=\vec{a}\cdot \vec{b}+\vec{a}\cdot \vec{c}$

• 结合律： $(k\cdot \vec{a})\cdot \vec{b}=\vec{a}\cdot (k\cdot \vec{b})=k\cdot(\vec{a}\cdot \vec{b})$

作用

1. 计算两个向量之间的夹角

   $\cos \theta =\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{||\vec{a}||\cdot ||\vec{b}||}$

当a和b都是单位向量时，可简化为：

$$\cos \theta = \vec{a}\cdot \vec{b}$$

2. 计算一个向量投影在另一个向量上的投影

   

b在a的投影为$\vec{b}_{\bot}$，其长度为：

$$length=||\vec{b}||\cos \theta =||\vec{b}||\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{||\vec{b}||\cdot ||\vec{a}||}=\frac{\vec{a}}{||\vec{a}||}\vec{b}=\hat{a}\cdot \vec{b}$$

其方向同a。

因此：

$$\vec{b}_{\bot} = (\hat{a}\cdot \vec{b}) \hat a$$

3. 把向量分解成垂直和平行的两个向量

   

4. 计算两个向量有多接近

   两个向量做点乘，可以反映二者方向的“接近”程度

   

   表示方向是否相同 ： 我们假设 $\vec{a}$ 已给定，如果一个向量的终点落在虚线上半部分，例如 $\vec{b}$ ，则可以认为该向量在方向上与 $\vec{a}$ 是相同的或是说都是向前的，此时$\hat a \cdot \hat b > 0$；如果一个向量，例如 $\vec{c}$，终点落在虚线下半部分，则可以认为 $\vec{a}$ 和 $\vec{c}$ 两个向量的方向基本是相反的，此时$\hat a \cdot \hat b < 0$

   表示接近程度 ：点乘结果落在 $[-1, 1]$ 上，数值越大越接近，结果为1时方向相同。数值越小方向越远，为-1时方向正好相反。

   📌补充：（点乘： $\vec{a}\cdot \vec{b} > 0$ ，方向相同； $\vec{a}\cdot \vec{c} < 0$ ，方向相反）

向量叉乘

几何意义

$\vec{c}=\vec{a}\times \vec{b}$

$\vec{c}$ 是一个向量，方向同时与 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 垂直（右手法则），大小为 $||\vec{a}||\cdot ||\vec{b}||\cdot \sin \theta$ ($\theta$ 是a到b的夹角)

✅右手螺旋法则：

$\vec{c}=\vec{a}\times \vec{b}$

右手手指指向 $\vec{a}$ 方向，然后沿着去往 $\vec{b}$ 的方向握紧四指，此时大拇指指向的方向，就是 $\vec{c}$ 的方向。

$\sin \theta = -\sin(-\theta)$，因此$a\times b = b\times a$

性质

[34：15]

• $\vec{x}\times \vec{y}=+\vec{z}$
• $\vec{y}\times \vec{x}=-\vec{z}$
• $\vec{y}\times \vec{z}=+\vec{x}$
• $\vec{z}\times \vec{y}=-\vec{x}$
• $\vec{z}\times \vec{x}=+\vec{y}$
• $\vec{x}\times \vec{z}=-\vec{y}$
• $\vec{a}\times \vec{b}=-\vec{b}\times \vec{a}$ (不满足交换律)
• $\vec{a}\times \vec{a}=\vec{0}$ （不是0，而是长度为0的向量）
• $\vec{a}\times \left( \vec{b}+\vec{c} \right) =\vec{a}\times \vec{b}+\vec{a}\times \vec{c}$ （分配律）
• $\vec{a}\times \left( k\vec{b} \right) =k\left( \vec{a}\times \vec{b} \right)$ （结合律）

左手则符号相反

📌 在一个三维坐标系中，如果$\vec{x}\times \vec{y}=\vec{z}$，那么这个坐标系称为右手坐标系。

代数意义

[36:11]

$$\vec{a}\times \vec{b}=\left( \begin{array}{c} y_az_b-y_bz_a\\ z_ax_b-x_az_b\\ x_ay_b-y_ax_b \end{array} \right) = \left[ \begin{matrix} 0& -z_a& y_a\\ z_a& 0& -x_a\\ -y_a& x_a& 0\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x_b\\ y_b\\ z_b\\ \end{matrix} \right]$$

💡思考： 这个式子中，$x_a,y_a,z_a$ 是$\vec{a}$ 在三维坐标系中的三个坐标分量的代数表示。 叉乘只用于3D中，在2D中没有定义。

式子中的矩阵称为dual matrix of a，常写作$A^*$

❗ 在本课程中默认使用右手坐标系，OPENGL, UE, unity等api默认使用左手坐标系。

向量叉乘在图形学中的作用

1. 判定左和右

   📌左右： 目标向量逆时针旋转指向的区域，是目标向量的左侧，反之是右侧。

   

   如果$\vec{a}\times \vec{b}$ 的结果是正值，即与 $Z$ 轴方向相同，就表示 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 的左侧。

❓ 叉乘的结果是一个向量，向量没有正负属性，什么叫结果是正的？
答：这里假设a和b都是xy平面上的向量，即
$$a^\top = (x_a, y_a, 0) \\ b^\top = (x_b, y_b, 0)$$ $c = a \times b$，那么
$$c^\top = (0, 0, z_c)$$ 在这种情况下，$z_c > 0$认为结果是正的，b在a的左侧。
离开了前面的假设，就不能用这种方法简单的判断了。

2. 判断内和外

   

   ✅如何判断P点在A、B、C的内部？

   $AB\times AP$，可以得到 $AP$ 在 $AB$ 的左侧。$BC\times BP$，可以得到 $BP$ 在 $BC$ 的左侧。$CA\times CP$，可以得到 $CP$ 在 $CA$ 的左侧。这样，就可以判断出P点在A、B、C的内部（P点在这三条边的同一侧）。

3. 构建右手坐标系

   有三个单位向量，两两垂直：

   $||\vec{u}||=||\vec{v}||=||\vec{w}||=1$

   $\vec{u}\cdot \vec{v}=\vec{v}\cdot \vec{w}=\vec{u}\cdot \vec{w}=0$

   且 $\vec{w}=\vec{u}\times \vec{v}$

   则这三个向量构成一个右手坐标系。

   可以把任意一个向量分解到轴上去：

   $\vec{p}=\left( \vec{p}\cdot \vec{u} \right) \vec{u}+\left( \vec{p}\cdot \vec{v} \right) \vec{v}+\left( \vec{p}\cdot \vec{w} \right) \vec{w}$

   • $\left( \vec{p}\cdot \vec{u} \right)$ 是投影长度
   • $\vec{u}$ 是方向

其它术语

线性组合：设α₁,α₂,…,αₑ(e≥1)是域P上线性空间V中的有限个向量.若V中向量α可以表示为：α=k₁α₁+k₂α₂+…+kₑαₑ(kₑ∈P,e=1,2,…,s),则称α是向量组α₁,α₂,…,αₑ的一个线性组合。

向量空间：由向量组成的集合，满足加法封闭性、乘法封闭性。

内积：指接受在实数R上的两个向量并返回一个实数值标量的二元运算。

内积空间：增添了一个额外的结构的向量空间。这个额外的结构叫做内积，或标量积，或点积。这个增添的结构允许我们谈论向量的角度和长度。

赋范向量空间：拥有一个范数的向量空间叫做赋范向量空间。

半赋范向量空间：拥有半范数的叫做半赋范向量空间。

哈达玛积：Hadamard product，又叫Schur积。定义为 $$(s \odot t)_j = s_j t_j$$ ，例如：
$$\begin{aligned} \left[\begin{array}{c} 1 \ 2 \end{array}\right] \odot \left[\begin{array}{c} 3 \ 4\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} 1 * 3 \ 2 * 4 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} 3 \ 8 \end{array} \right] && (28) \end{aligned}$$

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