逆变换(Inverse transform)

💡 当一个变换是通过$M$得到的，那么可以通过$M$的逆$M^{-1}$来恢复变换。

旋转的逆变换

再次来看矩阵旋转 $X'=R_{\theta}X$ :

我们将 $X$ 旋转 $\theta$ 度， $R_{\theta}$ 为：

$$R_{\theta}=\left( \begin{matrix} \cos \theta& -\sin \theta\\ \sin \theta& \cos \theta\\ \end{matrix} \right)$$

如果要逆转回来，恢复原来的矩阵，需要旋转 $-\theta$ 度，根据上述旋转的推导，可以得到：

$$R_{-\theta}=\left( \begin{matrix} \cos \theta& \sin \theta\\ -\sin \theta& \cos \theta\\ \end{matrix} \right)$$

而 $R_{-\theta}$ 恰好是 $R_{\theta}$ 的转置矩阵 $R_{\theta}^{T}$， 即：

$$R_{-\theta}=R_{\theta}^{T}$$

由 “当一个变换是通过$M$得到的，那么可以通过$M$的逆$M^{-1}$来恢复变换” 可知，$R_{\theta}^{-1}$ 与刚刚旋转 $-\theta$ 推导得到的 $R_{\theta}$ 相等，即：

$$R_{\theta}^{-1}=R_{-\theta}$$

于是有：

$$R_{-\theta}=R_{\theta}^{-1}=R_{\theta}^{T}$$

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