$$ ||x||_p = (\sum_i{|x_i|^p})^{1/p},\quad p \in \Bbb R,\quad p \geq 1 $$

意义：
一个将向量映射到非负值的函数。
衡量从原点到点x 的距离。

性质：

$$ \begin{aligned} f(x) = 0 \Rightarrow x = 0 \ f(x+y) \leq f(x) + f(y) \ \forall \alpha \in \Bbb R, f(\alpha x) = \alpha f(x) \end{aligned} $$

常用范数

$L^2$范数 （欧几里得范数）

$$ ||x|| = ||x||_2 = \sqrt {\sum_i{x_i}^2} $$

意义：原点到x的欧几里得距离

平方$L^2$范数

$$ \sum_i{x_i}^2 = x^Tx $$

意义：

1. 对x中每个元素求导只取决于对应的元素
2. 在原点附近增长十分缓慢（缺点）

$L^1$范数

$$ ||x||_1 = \sum_i |x_i| $$

意义：

1. 用于“零和非零元素之间的差异非常重要”的问题
2. 作为“表示非零元素数目”的替代函数

$L^\infty$范数

$$ ||x||_\infty = max_i|x_i| $$

意义：表示向量中具有最大幅值的元素的绝对值

Frobenius范数

$$ ||A||F = \sqrt sum{i,j}A_{i,j}^2 $$

类似于向量的$L^2$范数