2D变换(2D Transformation)

[06：52]

缩放(Scale)

图中，横轴和纵轴都缩小了$\frac{1}{2}$，用数学形式表达：

$$x'=sx \\ y'=sy$$ 其中，$(x',y')$ 是缩放后的坐标，$s$ 是缩放尺度，$(x,y)$ 是原坐标。

将该式子写成矩阵的形式为：

$$\left[ \begin{array}{c} x'\\ y'\\ \end{array} \right] =\left[ \begin{matrix} s& 0\\ 0& s\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{array}{c} x\\ y\\ \end{array} \right]$$

即，得到缩放矩阵为：

$$S_{0.5}=\left[ \begin{matrix} s& 0\\ 0& s\\ \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 0.5& 0\\ 0& 0.5\\ \end{matrix} \right]$$

如果缩放不是均匀的，例如 $x$ 轴缩小0.5，$y$ 不变，则用矩阵表示为：

$$\left[ \begin{array}{c} x'\\ y'\\ \end{array} \right] =\left[ \begin{matrix} s_x& 0\\ 0& s_y\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{array}{c} x\\ y\\ \end{array} \right]$$

即，得到缩放矩阵为：

$$S_{0.5,1.0}=\left[ \begin{matrix} s_x& 0\\ 0& s_y\\ \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 0.5& 0\\ 0& 1.0\\ \end{matrix} \right]$$

反射(Reflection)

反射也称对称。

上图中，原图相对于 $y$ 轴做了反转，用等式表示为：

$$x'=-x\\ y'=y$$

该等式可以用矩阵表示为：

$$\left[ \begin{array}{c} x'\\ y'\\ \end{array} \right] =\left[ \begin{matrix} -1& 0\\ 0& 1\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{array}{c} x\\ y\\ \end{array} \right]$$

切变(Shear)

上图是切变的例子。可以看到，图像上任意一点的 $y$ 轴坐标值并未改变，仅 $x$ 轴坐标改变了。则可以确定的是 $y'=y$，继续观察，当 $y$ 为0时， $x$ 没有变化，当 $y$ 为1时， $x$ 都水平右移了 $a$ 长度，当 $y$ 为1/2时， $x$ 移动了 $\frac{a}{2}$，所以，找到了规律， $x$ 移动距离为 $ay$。用矩阵表示为：

$$\left[ \begin{array}{c} x'\\ y'\\ \end{array} \right] =\left[ \begin{matrix} 1& a\\ 0& 1\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{array}{c} x\\ y\\ \end{array} \right]$$

📌补充： 找到变化规律，就能写出变换的表达式

旋转(Rotate)

✅旋转默认是绕原点(0,0)旋转；默认旋转方向是逆时针旋转。

旋转的矩阵表达式推导：

💡思路： 旋转的图像每一点都需要符合表达式，那么，特殊的点也必须符合，所以从特殊点入手，找出旋转的规律，从而推导出旋转的矩阵形式表达。

假设有一个正方形，如图所示。

将其旋转 $\theta$ 角度。

我们的目的是得到 $\left( x,y \right) ->\left( x',y' \right)$

矩阵的形式为： $\left[ \begin{array}{c} x'\\ y'\\ \end{array} \right] =\left( \begin{matrix} A& B\\ C& D\\ \end{matrix} \right) \left( \begin{array}{c} x\\ y\\ \end{array} \right)$

只要找出规律，求出ABCD即可。

我们将目光先聚集在下图中的红点。

最基本的，我们可以知道一些信息，例如，原本的(1,0)点被旋转成为($cos\theta，sin\theta$)，

于是，我们就可以初步得到：

$\left( \begin{array}{c} \cos \theta\\ \sin \theta\\ \end{array} \right) =\left( \begin{matrix} A& B\\ C& D\\ \end{matrix} \right) \left( \begin{array}{c} 1\\ 0\\ \end{array} \right)$

也就是：

$\cos \theta =A\cdot 1+B\cdot 0 = A$

$\sin \theta =C\cdot 1+D\cdot 0 =C$

现在，已经得到了A和C。接着，我们选择另一个点。

不难得到，$B=-sin\theta, D=cos\theta$

所以有

$\left( \begin{array}{c} \cos \theta\\ \sin \theta\\ \end{array} \right) =\left( \begin{matrix} cos\theta& -sin\theta\\ sin\theta& cos\theta\\ \end{matrix} \right) \left( \begin{array}{c} 1\\ 0\\ \end{array} \right)$

因此

$$\left[ \begin{array}{c} x'\\ y'\\ \end{array} \right] =\left[ \begin{matrix} \cos\theta& -\sin\theta\\ \sin\theta& \cos\theta\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{array}{c} x\\ y\\ \end{array} \right]$$

线性变换

上述缩放、反射、切变和旋转，都称为线性变换，可以统一由下面的表达式来表达：

$$x'=ax+by\\ y'=cx+dy$$

$$\left[ \begin{array}{c} x'\\ y'\\ \end{array} \right] =\left[ \begin{matrix} a& b\\ c& d\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{array}{c} x\\ y\\ \end{array} \right]$$

$$X'=MX$$

❗注意： 要用相同维度的向量，去和X相乘。旋转矩阵必须满足$R^{-1}=R^T$

本文出自CaterpillarStudyGroup，转载请注明出处。
https://caterpillarstudygroup.github.io/GAMES101_mdbook/